Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104001 / 99137
↖ ↑ ↗
← S 67.408542°
E105.647278°		 ← 117.33 m → S 67.408542°
E105.650024°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.409597°
E105.647278°		 ← 117.33 m →
13 762 m²		 S 67.409597°
E105.650024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793468475341797 y=0.756359100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793468475341797 × 217)
    floor (0.793468475341797 × 131072)
    floor (104001.5)     		tx = 104001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756359100341797 × 217)
    floor (0.756359100341797 × 131072)
    floor (99137.5)     		ty = 99137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104001 / 99137 ti = "17/104001/99137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104001/99137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104001 ÷ 217
    104001 ÷ 131072     		x = 0.793464660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99137 ÷ 217
    99137 ÷ 131072     		y = 0.756355285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793464660644531 × 2 - 1) × π
    0.586929321289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.84389284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756355285644531 × 2 - 1) × π
    -0.512710571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61072776413351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84389284} λ = 1.84389284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61072776413351))-π/2
    2×atan(0.199742195960351)-π/2
    2×0.197147659064945-π/2
    0.394295318129891-1.57079632675     		φ = -1.17650101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84389284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.647278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17650101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.408542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104001 KachelY 99137 1.84389284 -1.17650101 105.647278 -67.408542
    Oben rechts KachelX + 1 104002 KachelY 99137 1.84394078 -1.17650101 105.650024 -67.408542
    Unten links KachelX 104001 KachelY + 1 99138 1.84389284 -1.17651942 105.647278 -67.409597
    Unten rechts KachelX + 1 104002 KachelY + 1 99138 1.84394078 -1.17651942 105.650024 -67.409597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17650101--1.17651942) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17650101--1.17651942) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84389284-1.84394078) × cos(-1.17650101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384157673141084 × 6371000     		do = 117.331641595717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84389284-1.84394078) × cos(-1.17651942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384140675721253 × 6371000     		du = 117.326450146187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17650101)-sin(-1.17651942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384157673141084-0.384140675721253)×R²
    abs(1.84394078-1.84389284)×1.69974198309109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69974198309109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69974198309109e-05×40589641000000     		ar = 13761.5366967751m²