Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10400 / 6294
↖ ↑ ↗
← N 80.964730°
W122.871094°		 ← 95.92 m → N 80.964730°
W122.865601°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 80.963867°
W122.871094°		 ← 95.93 m →
9 204 m²		 N 80.963867°
W122.865601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158699035644531 y=0.0960464477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158699035644531 × 216)
    floor (0.158699035644531 × 65536)
    floor (10400.5)     		tx = 10400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960464477539062 × 216)
    floor (0.0960464477539062 × 65536)
    floor (6294.5)     		ty = 6294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10400 / 6294 ti = "16/10400/6294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10400/6294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10400 ÷ 216
    10400 ÷ 65536     		x = 0.15869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6294 ÷ 216
    6294 ÷ 65536     		y = 0.096038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    -0.6826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14450514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096038818359375 × 2 - 1) × π
    0.80792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53816296108273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14450514} λ = -2.14450514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53816296108273))-π/2
    2×atan(12.6563993038259)-π/2
    2×1.49194871765414-π/2
    2.98389743530828-1.57079632675     		φ = 1.41310111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14450514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41310111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.964730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10400 KachelY 6294 -2.14450514 1.41310111 -122.871094 80.964730
    Oben rechts KachelX + 1 10401 KachelY 6294 -2.14440927 1.41310111 -122.865601 80.964730
    Unten links KachelX 10400 KachelY + 1 6295 -2.14450514 1.41308605 -122.871094 80.963867
    Unten rechts KachelX + 1 10401 KachelY + 1 6295 -2.14440927 1.41308605 -122.865601 80.963867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41310111-1.41308605) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41310111-1.41308605) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14450514--2.14440927) × cos(1.41310111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157042440615339 × 6371000     		do = 95.9196020987985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14450514--2.14440927) × cos(1.41308605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157057313730865 × 6371000     		du = 95.928686415863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41310111)-sin(1.41308605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157042440615339-0.157057313730865)×R²
    abs(-2.14440927--2.14450514)×1.48731155251436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48731155251436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48731155251436e-05×40589641000000     		ar = 9203.65880948304m²