Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10400 / 6112
↖ ↑ ↗
← N 81.120389°
W122.871094°		 ← 94.28 m → N 81.120389°
W122.865601°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 81.119541°
W122.871094°		 ← 94.29 m →
8 890 m²		 N 81.119541°
W122.865601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158699035644531 y=0.0932693481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158699035644531 × 216)
    floor (0.158699035644531 × 65536)
    floor (10400.5)     		tx = 10400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932693481445312 × 216)
    floor (0.0932693481445312 × 65536)
    floor (6112.5)     		ty = 6112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10400 / 6112 ti = "16/10400/6112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10400/6112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10400 ÷ 216
    10400 ÷ 65536     		x = 0.15869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6112 ÷ 216
    6112 ÷ 65536     		y = 0.09326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    -0.6826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14450514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09326171875 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55561199254443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14450514} λ = -2.14450514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55561199254443))-π/2
    2×atan(12.8791792078168)-π/2
    2×1.49330709744823-π/2
    2.98661419489646-1.57079632675     		φ = 1.41581787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14450514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41581787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.120389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10400 KachelY 6112 -2.14450514 1.41581787 -122.871094 81.120389
    Oben rechts KachelX + 1 10401 KachelY 6112 -2.14440927 1.41581787 -122.865601 81.120389
    Unten links KachelX 10400 KachelY + 1 6113 -2.14450514 1.41580307 -122.871094 81.119541
    Unten rechts KachelX + 1 10401 KachelY + 1 6113 -2.14440927 1.41580307 -122.865601 81.119541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41581787-1.41580307) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41581787-1.41580307) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14450514--2.14440927) × cos(1.41581787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154358814320269 × 6371000     		do = 94.2804759785188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14450514--2.14440927) × cos(1.41580307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154373436923237 × 6371000     		du = 94.2894072855776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41581787)-sin(1.41580307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154358814320269-0.154373436923237)×R²
    abs(-2.14440927--2.14450514)×1.46226029686114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46226029686114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46226029686114e-05×40589641000000     		ar = 8890.20257464171m²