Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103997 / 99134
↖ ↑ ↗
← S 67.405377°
E105.636292°		 ← 117.32 m → S 67.405377°
E105.639038°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.406432°
E105.636292°		 ← 117.32 m →
13 768 m²		 S 67.406432°
E105.639038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793437957763672 y=0.756336212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793437957763672 × 217)
    floor (0.793437957763672 × 131072)
    floor (103997.5)     		tx = 103997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756336212158203 × 217)
    floor (0.756336212158203 × 131072)
    floor (99134.5)     		ty = 99134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103997 / 99134 ti = "17/103997/99134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103997/99134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103997 ÷ 217
    103997 ÷ 131072     		x = 0.793434143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99134 ÷ 217
    99134 ÷ 131072     		y = 0.756332397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793434143066406 × 2 - 1) × π
    0.586868286132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.84370110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756332397460938 × 2 - 1) × π
    -0.512664794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61058395343465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84370110} λ = 1.84370110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61058395343465))-π/2
    2×atan(0.199770923090729)-π/2
    2×0.197175283890656-π/2
    0.394350567781312-1.57079632675     		φ = -1.17644576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84370110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.636292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17644576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.405377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103997 KachelY 99134 1.84370110 -1.17644576 105.636292 -67.405377
    Oben rechts KachelX + 1 103998 KachelY 99134 1.84374903 -1.17644576 105.639038 -67.405377
    Unten links KachelX 103997 KachelY + 1 99135 1.84370110 -1.17646418 105.636292 -67.406432
    Unten rechts KachelX + 1 103998 KachelY + 1 99135 1.84374903 -1.17646418 105.639038 -67.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17644576--1.17646418) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17644576--1.17646418) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84370110-1.84374903) × cos(-1.17644576) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.384208683084268 × 6371000     		do = 117.322743409767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84370110-1.84374903) × cos(-1.17646418) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.384191676822668 × 6371000     		du = 117.317550343202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17644576)-sin(-1.17646418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384208683084268-0.384191676822668)×R²
    abs(1.84374903-1.84370110)×1.7006261600172e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.7006261600172e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.7006261600172e-05×40589641000000     		ar = 13767.96739931m²