Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103997 / 99132
↖ ↑ ↗
← S 67.403266°
E105.636292°		 ← 117.33 m → S 67.403266°
E105.639038°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.404321°
E105.636292°		 ← 117.33 m →
13 769 m²		 S 67.404321°
E105.639038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793437957763672 y=0.756320953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793437957763672 × 217)
    floor (0.793437957763672 × 131072)
    floor (103997.5)     		tx = 103997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756320953369141 × 217)
    floor (0.756320953369141 × 131072)
    floor (99132.5)     		ty = 99132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103997 / 99132 ti = "17/103997/99132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103997/99132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103997 ÷ 217
    103997 ÷ 131072     		x = 0.793434143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99132 ÷ 217
    99132 ÷ 131072     		y = 0.756317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793434143066406 × 2 - 1) × π
    0.586868286132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.84370110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.51263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61048807963541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84370110} λ = 1.84370110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61048807963541))-π/2
    2×atan(0.199790076806258)-π/2
    2×0.19719370247892-π/2
    0.394387404957839-1.57079632675     		φ = -1.17640892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84370110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.636292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17640892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.403266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103997 KachelY 99132 1.84370110 -1.17640892 105.636292 -67.403266
    Oben rechts KachelX + 1 103998 KachelY 99132 1.84374903 -1.17640892 105.639038 -67.403266
    Unten links KachelX 103997 KachelY + 1 99133 1.84370110 -1.17642734 105.636292 -67.404321
    Unten rechts KachelX + 1 103998 KachelY + 1 99133 1.84374903 -1.17642734 105.639038 -67.404321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17640892--1.17642734) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17640892--1.17642734) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84370110-1.84374903) × cos(-1.17640892) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.384242695216381 × 6371000     		do = 117.333129423474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84370110-1.84374903) × cos(-1.17642734) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.384225689215508 × 6371000     		du = 117.327936436525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17640892)-sin(-1.17642734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384242695216381-0.384225689215508)×R²
    abs(1.84374903-1.84370110)×1.7006000873121e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.7006000873121e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.7006000873121e-05×40589641000000     		ar = 13769.1862423109m²