Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103995 / 99131
↖ ↑ ↗
← S 67.402211°
E105.630798°		 ← 117.36 m → S 67.402211°
E105.633545°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.403266°
E105.630798°		 ← 117.36 m →
13 773 m²		 S 67.403266°
E105.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793422698974609 y=0.756313323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793422698974609 × 217)
    floor (0.793422698974609 × 131072)
    floor (103995.5)     		tx = 103995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756313323974609 × 217)
    floor (0.756313323974609 × 131072)
    floor (99131.5)     		ty = 99131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103995 / 99131 ti = "17/103995/99131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103995/99131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103995 ÷ 217
    103995 ÷ 131072     		x = 0.793418884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99131 ÷ 217
    99131 ÷ 131072     		y = 0.756309509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793418884277344 × 2 - 1) × π
    0.586837768554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.84360522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756309509277344 × 2 - 1) × π
    -0.512619018554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.61044014273579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84360522} λ = 1.84360522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61044014273579))-π/2
    2×atan(0.199799654352672)-π/2
    2×0.197202912384433-π/2
    0.394405824768866-1.57079632675     		φ = -1.17639050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84360522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.630798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17639050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.402211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103995 KachelY 99131 1.84360522 -1.17639050 105.630798 -67.402211
    Oben rechts KachelX + 1 103996 KachelY 99131 1.84365316 -1.17639050 105.633545 -67.402211
    Unten links KachelX 103995 KachelY + 1 99132 1.84360522 -1.17640892 105.630798 -67.403266
    Unten rechts KachelX + 1 103996 KachelY + 1 99132 1.84365316 -1.17640892 105.633545 -67.403266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17639050--1.17640892) × R
    1.84200000001855e-05 × 6371000     		dl = 117.353820001182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17639050--1.17640892) × R
    1.84200000001855e-05 × 6371000     		dr = 117.353820001182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84360522-1.84365316) × cos(-1.17639050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384259701086882 × 6371000     		do = 117.362803556563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84360522-1.84365316) × cos(-1.17640892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384242695216381 × 6371000     		du = 117.357609525981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17639050)-sin(-1.17640892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384259701086882-0.384242695216381)×R²
    abs(1.84365316-1.84360522)×1.70058705011855e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70058705011855e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70058705011855e-05×40589641000000     		ar = 13772.6685541242m²