Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10399 / 6258
↖ ↑ ↗
← N 80.995732°
W122.876587°		 ← 95.60 m → N 80.995732°
W122.871094°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
N 80.994873°
W122.876587°		 ← 95.61 m →
9 137 m²		 N 80.994873°
W122.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158683776855469 y=0.0954971313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158683776855469 × 216)
    floor (0.158683776855469 × 65536)
    floor (10399.5)     		tx = 10399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954971313476562 × 216)
    floor (0.0954971313476562 × 65536)
    floor (6258.5)     		ty = 6258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10399 / 6258 ti = "16/10399/6258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10399/6258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10399 ÷ 216
    10399 ÷ 65536     		x = 0.158676147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6258 ÷ 216
    6258 ÷ 65536     		y = 0.095489501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.682647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14460102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095489501953125 × 2 - 1) × π
    0.80902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54161441785538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14460102} λ = -2.14460102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54161441785538))-π/2
    2×atan(12.7001577907438)-π/2
    2×1.49221926887453-π/2
    2.98443853774905-1.57079632675     		φ = 1.41364221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14460102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.876587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41364221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.995732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10399 KachelY 6258 -2.14460102 1.41364221 -122.876587 80.995732
    Oben rechts KachelX + 1 10400 KachelY 6258 -2.14450514 1.41364221 -122.871094 80.995732
    Unten links KachelX 10399 KachelY + 1 6259 -2.14460102 1.41362721 -122.876587 80.994873
    Unten rechts KachelX + 1 10400 KachelY + 1 6259 -2.14450514 1.41362721 -122.871094 80.994873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41364221-1.41362721) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41364221-1.41362721) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14460102--2.14450514) × cos(1.41364221) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15650803169857 × 6371000     		do = 95.6031627948956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14460102--2.14450514) × cos(1.41362721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156522846831252 × 6371000     		du = 95.6122126406207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41364221)-sin(1.41362721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15650803169857-0.156522846831252)×R²
    abs(-2.14450514--2.14460102)×1.48151326817558e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48151326817558e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48151326817558e-05×40589641000000     		ar = 9136.74867694828m²