Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10399 / 6063
↖ ↑ ↗
← N 81.161840°
W122.876587°		 ← 93.85 m → N 81.161840°
W122.871094°		 →
↑
93.84 m
↓
↑
93.84 m
↓
N 81.160996°
W122.876587°		 ← 93.86 m →
8 808 m²		 N 81.160996°
W122.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158683776855469 y=0.0925216674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158683776855469 × 216)
    floor (0.158683776855469 × 65536)
    floor (10399.5)     		tx = 10399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0925216674804688 × 216)
    floor (0.0925216674804688 × 65536)
    floor (6063.5)     		ty = 6063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10399 / 6063 ti = "16/10399/6063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10399/6063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10399 ÷ 216
    10399 ÷ 65536     		x = 0.158676147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6063 ÷ 216
    6063 ÷ 65536     		y = 0.0925140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.682647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14460102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0925140380859375 × 2 - 1) × π
    0.814971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5603098087072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14460102} λ = -2.14460102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5603098087072))-π/2
    2×atan(12.9398255652454)-π/2
    2×1.49366883194042-π/2
    2.98733766388083-1.57079632675     		φ = 1.41654134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14460102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.876587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41654134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.161840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10399 KachelY 6063 -2.14460102 1.41654134 -122.876587 81.161840
    Oben rechts KachelX + 1 10400 KachelY 6063 -2.14450514 1.41654134 -122.871094 81.161840
    Unten links KachelX 10399 KachelY + 1 6064 -2.14460102 1.41652661 -122.876587 81.160996
    Unten rechts KachelX + 1 10400 KachelY + 1 6064 -2.14450514 1.41652661 -122.871094 81.160996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41654134-1.41652661) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dl = 93.8448299997632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41654134-1.41652661) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dr = 93.8448299997632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14460102--2.14450514) × cos(1.41654134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153643974878091 × 6371000     		do = 93.8536494473033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14460102--2.14450514) × cos(1.41652661) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153658529961406 × 6371000     		du = 93.8625404414874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41654134)-sin(1.41652661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153643974878091-0.153658529961406)×R²
    abs(-2.14450514--2.14460102)×1.45550833144936e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45550833144936e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45550833144936e-05×40589641000000     		ar = 8808.09696427541m²