Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10398 / 6062
↖ ↑ ↗
← N 81.162684°
W122.882080°		 ← 93.83 m → N 81.162684°
W122.876587°		 →
↑
93.84 m
↓
↑
93.84 m
↓
N 81.161840°
W122.882080°		 ← 93.84 m →
8 806 m²		 N 81.161840°
W122.876587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158668518066406 y=0.0925064086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158668518066406 × 216)
    floor (0.158668518066406 × 65536)
    floor (10398.5)     		tx = 10398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0925064086914062 × 216)
    floor (0.0925064086914062 × 65536)
    floor (6062.5)     		ty = 6062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10398 / 6062 ti = "16/10398/6062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10398/6062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10398 ÷ 216
    10398 ÷ 65536     		x = 0.158660888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6062 ÷ 216
    6062 ÷ 65536     		y = 0.092498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.68267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14469689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092498779296875 × 2 - 1) × π
    0.81500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56040568250644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14469689} λ = -2.14469689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56040568250644))-π/2
    2×atan(12.9410662149558)-π/2
    2×1.49367619680749-π/2
    2.98735239361499-1.57079632675     		φ = 1.41655607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14469689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.882080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41655607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.162684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10398 KachelY 6062 -2.14469689 1.41655607 -122.882080 81.162684
    Oben rechts KachelX + 1 10399 KachelY 6062 -2.14460102 1.41655607 -122.876587 81.162684
    Unten links KachelX 10398 KachelY + 1 6063 -2.14469689 1.41654134 -122.882080 81.161840
    Unten rechts KachelX + 1 10399 KachelY + 1 6063 -2.14460102 1.41654134 -122.876587 81.161840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41655607-1.41654134) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dl = 93.8448299997632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41655607-1.41654134) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dr = 93.8448299997632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14469689--2.14460102) × cos(1.41655607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15362941976144 × 6371000     		do = 93.8349707024819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14469689--2.14460102) × cos(1.41654134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153643974878091 × 6371000     		du = 93.8438607897233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41655607)-sin(1.41654134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15362941976144-0.153643974878091)×R²
    abs(-2.14460102--2.14469689)×1.45551166510494e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45551166510494e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45551166510494e-05×40589641000000     		ar = 8806.34401813055m²