Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10398 / 6054
↖ ↑ ↗
← N 81.169433°
W122.882080°		 ← 93.76 m → N 81.169433°
W122.876587°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 81.168590°
W122.882080°		 ← 93.77 m →
8 788 m²		 N 81.168590°
W122.876587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158668518066406 y=0.0923843383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158668518066406 × 216)
    floor (0.158668518066406 × 65536)
    floor (10398.5)     		tx = 10398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923843383789062 × 216)
    floor (0.0923843383789062 × 65536)
    floor (6054.5)     		ty = 6054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10398 / 6054 ti = "16/10398/6054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10398/6054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10398 ÷ 216
    10398 ÷ 65536     		x = 0.158660888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6054 ÷ 216
    6054 ÷ 65536     		y = 0.092376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.68267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14469689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092376708984375 × 2 - 1) × π
    0.81524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56117267290036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14469689} λ = -2.14469689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56117267290036))-π/2
    2×atan(12.9509956958513)-π/2
    2×1.49373509063296-π/2
    2.98747018126591-1.57079632675     		φ = 1.41667385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14469689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.882080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41667385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.169433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10398 KachelY 6054 -2.14469689 1.41667385 -122.882080 81.169433
    Oben rechts KachelX + 1 10399 KachelY 6054 -2.14460102 1.41667385 -122.876587 81.169433
    Unten links KachelX 10398 KachelY + 1 6055 -2.14469689 1.41665914 -122.882080 81.168590
    Unten rechts KachelX + 1 10399 KachelY + 1 6055 -2.14460102 1.41665914 -122.876587 81.168590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41667385-1.41665914) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41667385-1.41665914) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14469689--2.14460102) × cos(1.41667385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153513036917291 × 6371000     		do = 93.7638854846378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14469689--2.14460102) × cos(1.41665914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153527572537498 × 6371000     		du = 93.7727636636897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41667385)-sin(1.41665914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153513036917291-0.153527572537498)×R²
    abs(-2.14460102--2.14469689)×1.45356202072011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45356202072011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45356202072011e-05×40589641000000     		ar = 8787.7245194031m²