Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103974 / 98179
↖ ↑ ↗
← S 66.376057°
E105.573120°		 ← 122.37 m → S 66.376057°
E105.575866°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
S 66.377158°
E105.573120°		 ← 122.36 m →
14 976 m²		 S 66.377158°
E105.575866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793262481689453 y=0.749050140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793262481689453 × 217)
    floor (0.793262481689453 × 131072)
    floor (103974.5)     		tx = 103974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749050140380859 × 217)
    floor (0.749050140380859 × 131072)
    floor (98179.5)     		ty = 98179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103974 / 98179 ti = "17/103974/98179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103974/98179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103974 ÷ 217
    103974 ÷ 131072     		x = 0.793258666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98179 ÷ 217
    98179 ÷ 131072     		y = 0.749046325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793258666992188 × 2 - 1) × π
    0.586517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84259855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749046325683594 × 2 - 1) × π
    -0.498092651367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.56480421429749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84259855} λ = 1.84259855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56480421429749))-π/2
    2×atan(0.209128953624475)-π/2
    2×0.206157792532324-π/2
    0.412315585064648-1.57079632675     		φ = -1.15848074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84259855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.573120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15848074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.376057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103974 KachelY 98179 1.84259855 -1.15848074 105.573120 -66.376057
    Oben rechts KachelX + 1 103975 KachelY 98179 1.84264648 -1.15848074 105.575866 -66.376057
    Unten links KachelX 103974 KachelY + 1 98180 1.84259855 -1.15849995 105.573120 -66.377158
    Unten rechts KachelX + 1 103975 KachelY + 1 98180 1.84264648 -1.15849995 105.575866 -66.377158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15848074--1.15849995) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15848074--1.15849995) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84259855-1.84264648) × cos(-1.15848074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400731930293615 × 6371000     		do = 122.368315720352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84259855-1.84264648) × cos(-1.15849995) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400714330106996 × 6371000     		du = 122.362941291637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15848074)-sin(-1.15849995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400731930293615-0.400714330106996)×R²
    abs(1.84264648-1.84259855)×1.76001866194486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76001866194486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76001866194486e-05×40589641000000     		ar = 14975.9511634902m²