Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10396 / 5484
↖ ↑ ↗
← N 81.637345°
W122.893067°		 ← 88.84 m → N 81.637345°
W122.887573°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 81.636546°
W122.893067°		 ← 88.85 m →
7 896 m²		 N 81.636546°
W122.887573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158638000488281 y=0.0836868286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158638000488281 × 216)
    floor (0.158638000488281 × 65536)
    floor (10396.5)     		tx = 10396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0836868286132812 × 216)
    floor (0.0836868286132812 × 65536)
    floor (5484.5)     		ty = 5484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10396 / 5484 ti = "16/10396/5484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10396/5484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10396 ÷ 216
    10396 ÷ 65536     		x = 0.15863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5484 ÷ 216
    5484 ÷ 65536     		y = 0.08367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.6827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14488864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08367919921875 × 2 - 1) × π
    0.8326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61582073846722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14488864} λ = -2.14488864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61582073846722))-π/2
    2×atan(13.6784381925726)-π/2
    2×1.49781839642908-π/2
    2.99563679285815-1.57079632675     		φ = 1.42484047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14488864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.893067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42484047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.637345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10396 KachelY 5484 -2.14488864 1.42484047 -122.893067 81.637345
    Oben rechts KachelX + 1 10397 KachelY 5484 -2.14479276 1.42484047 -122.887573 81.637345
    Unten links KachelX 10396 KachelY + 1 5485 -2.14488864 1.42482652 -122.893067 81.636546
    Unten rechts KachelX + 1 10397 KachelY + 1 5485 -2.14479276 1.42482652 -122.887573 81.636546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42484047-1.42482652) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42484047-1.42482652) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14488864--2.14479276) × cos(1.42484047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145438189501586 × 6371000     		do = 88.841133305506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14488864--2.14479276) × cos(1.42482652) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145451991161824 × 6371000     		du = 88.8495640700888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42484047)-sin(1.42482652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145438189501586-0.145451991161824)×R²
    abs(-2.14479276--2.14488864)×1.38016602380664e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38016602380664e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38016602380664e-05×40589641000000     		ar = 7896.17034507012m²