Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103956 / 100844
↖ ↑ ↗
← S 69.143009°
E105.523681°		 ← 108.74 m → S 69.143009°
E105.526428°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
S 69.143987°
E105.523681°		 ← 108.74 m →
11 826 m²		 S 69.143987°
E105.526428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793125152587891 y=0.769382476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793125152587891 × 217)
    floor (0.793125152587891 × 131072)
    floor (103956.5)     		tx = 103956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769382476806641 × 217)
    floor (0.769382476806641 × 131072)
    floor (100844.5)     		ty = 100844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103956 / 100844 ti = "17/103956/100844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103956/100844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103956 ÷ 217
    103956 ÷ 131072     		x = 0.793121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100844 ÷ 217
    100844 ÷ 131072     		y = 0.769378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793121337890625 × 2 - 1) × π
    0.58624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84173568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.53875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69255605178494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84173568} λ = 1.84173568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69255605178494))-π/2
    2×atan(0.184048484791084)-π/2
    2×0.182011582599215-π/2
    0.36402316519843-1.57079632675     		φ = -1.20677316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84173568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.523681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20677316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.143009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103956 KachelY 100844 1.84173568 -1.20677316 105.523681 -69.143009
    Oben rechts KachelX + 1 103957 KachelY 100844 1.84178362 -1.20677316 105.526428 -69.143009
    Unten links KachelX 103956 KachelY + 1 100845 1.84173568 -1.20679023 105.523681 -69.143987
    Unten rechts KachelX + 1 103957 KachelY + 1 100845 1.84178362 -1.20679023 105.526428 -69.143987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20677316--1.20679023) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20677316--1.20679023) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84173568-1.84178362) × cos(-1.20677316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356036641213395 × 6371000     		do = 108.742754609644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84173568-1.84178362) × cos(-1.20679023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356020689724564 × 6371000     		du = 108.737882614364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20677316)-sin(-1.20679023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356036641213395-0.356020689724564)×R²
    abs(1.84178362-1.84173568)×1.59514888318224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59514888318224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59514888318224e-05×40589641000000     		ar = 11825.8326080489m²