Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103932 / 100836
↖ ↑ ↗
← S 69.135185°
E105.457764°		 ← 108.76 m → S 69.135185°
E105.460510°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
S 69.136163°
E105.457764°		 ← 108.75 m →
11 828 m²		 S 69.136163°
E105.460510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792942047119141 y=0.769321441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792942047119141 × 217)
    floor (0.792942047119141 × 131072)
    floor (103932.5)     		tx = 103932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769321441650391 × 217)
    floor (0.769321441650391 × 131072)
    floor (100836.5)     		ty = 100836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103932 / 100836 ti = "17/103932/100836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103932/100836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103932 ÷ 217
    103932 ÷ 131072     		x = 0.792938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100836 ÷ 217
    100836 ÷ 131072     		y = 0.769317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792938232421875 × 2 - 1) × π
    0.58587646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84058520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.53863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69217255658798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84058520} λ = 1.84058520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69217255658798))-π/2
    2×atan(0.184119080036613)-π/2
    2×0.18207986400376-π/2
    0.364159728007521-1.57079632675     		φ = -1.20663660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84058520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.457764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20663660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.135185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103932 KachelY 100836 1.84058520 -1.20663660 105.457764 -69.135185
    Oben rechts KachelX + 1 103933 KachelY 100836 1.84063313 -1.20663660 105.460510 -69.135185
    Unten links KachelX 103932 KachelY + 1 100837 1.84058520 -1.20665367 105.457764 -69.136163
    Unten rechts KachelX + 1 103933 KachelY + 1 100837 1.84063313 -1.20665367 105.460510 -69.136163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20663660--1.20665367) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20663660--1.20665367) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84058520-1.84063313) × cos(-1.20663660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356164249388887 × 6371000     		do = 108.759038206883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84058520-1.84063313) × cos(-1.20665367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356148298730135 × 6371000     		du = 108.754167481347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20663660)-sin(-1.20665367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356164249388887-0.356148298730135)×R²
    abs(1.84063313-1.84058520)×1.59506587520952e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59506587520952e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59506587520952e-05×40589641000000     		ar = 11827.6035667099m²