Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103923 / 99543
↖ ↑ ↗
← S 67.833092°
E105.433045°		 ← 115.21 m → S 67.833092°
E105.435791°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
S 67.834128°
E105.433045°		 ← 115.21 m →
13 278 m²		 S 67.834128°
E105.435791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792873382568359 y=0.759456634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792873382568359 × 217)
    floor (0.792873382568359 × 131072)
    floor (103923.5)     		tx = 103923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759456634521484 × 217)
    floor (0.759456634521484 × 131072)
    floor (99543.5)     		ty = 99543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103923 / 99543 ti = "17/103923/99543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103923/99543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103923 ÷ 217
    103923 ÷ 131072     		x = 0.792869567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99543 ÷ 217
    99543 ÷ 131072     		y = 0.759452819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792869567871094 × 2 - 1) × π
    0.585739135742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.84015377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759452819824219 × 2 - 1) × π
    -0.518905639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.63019014537925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84015377} λ = 1.84015377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63019014537925))-π/2
    2×atan(0.195892322565449)-π/2
    2×0.193442768119445-π/2
    0.38688553623889-1.57079632675     		φ = -1.18391079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84015377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.433045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18391079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.833092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103923 KachelY 99543 1.84015377 -1.18391079 105.433045 -67.833092
    Oben rechts KachelX + 1 103924 KachelY 99543 1.84020170 -1.18391079 105.435791 -67.833092
    Unten links KachelX 103923 KachelY + 1 99544 1.84015377 -1.18392888 105.433045 -67.834128
    Unten rechts KachelX + 1 103924 KachelY + 1 99544 1.84020170 -1.18392888 105.435791 -67.834128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18391079--1.18392888) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18391079--1.18392888) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84015377-1.84020170) × cos(-1.18391079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37730598065536 × 6371000     		do = 115.214920184132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84015377-1.84020170) × cos(-1.18392888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377289227649855 × 6371000     		du = 115.209804452362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18391079)-sin(-1.18392888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37730598065536-0.377289227649855)×R²
    abs(1.84020170-1.84015377)×1.67530055047438e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67530055047438e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67530055047438e-05×40589641000000     		ar = 13278.3849026197m²