Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10392 / 6185
↖ ↑ ↗
← N 81.058276°
W122.915039°		 ← 94.93 m → N 81.058276°
W122.909546°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
N 81.057422°
W122.915039°		 ← 94.94 m →
9 012 m²		 N 81.057422°
W122.909546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158576965332031 y=0.0943832397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158576965332031 × 216)
    floor (0.158576965332031 × 65536)
    floor (10392.5)     		tx = 10392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943832397460938 × 216)
    floor (0.0943832397460938 × 65536)
    floor (6185.5)     		ty = 6185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10392 / 6185 ti = "16/10392/6185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10392/6185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10392 ÷ 216
    10392 ÷ 65536     		x = 0.1585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6185 ÷ 216
    6185 ÷ 65536     		y = 0.0943756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14527213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943756103515625 × 2 - 1) × π
    0.811248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54861320519991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14527213} λ = -2.14527213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54861320519991))-π/2
    2×atan(12.7893552673518)-π/2
    2×1.49276506339178-π/2
    2.98553012678355-1.57079632675     		φ = 1.41473380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14527213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41473380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.058276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10392 KachelY 6185 -2.14527213 1.41473380 -122.915039 81.058276
    Oben rechts KachelX + 1 10393 KachelY 6185 -2.14517626 1.41473380 -122.909546 81.058276
    Unten links KachelX 10392 KachelY + 1 6186 -2.14527213 1.41471890 -122.915039 81.057422
    Unten rechts KachelX + 1 10393 KachelY + 1 6186 -2.14517626 1.41471890 -122.909546 81.057422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41473380-1.41471890) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41473380-1.41471890) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14527213--2.14517626) × cos(1.41473380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155429800674013 × 6371000     		do = 94.9346213452226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14527213--2.14517626) × cos(1.41471890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155444519576166 × 6371000     		du = 94.9436114706457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41473380)-sin(1.41471890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155429800674013-0.155444519576166)×R²
    abs(-2.14517626--2.14527213)×1.47189021534599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47189021534599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47189021534599e-05×40589641000000     		ar = 9012.37094877065m²