Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103913 / 100882
↖ ↑ ↗
← S 69.180137°
E105.405579°		 ← 108.54 m → S 69.180137°
E105.408325°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 69.181113°
E105.405579°		 ← 108.53 m →
11 776 m²		 S 69.181113°
E105.408325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792797088623047 y=0.769672393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792797088623047 × 217)
    floor (0.792797088623047 × 131072)
    floor (103913.5)     		tx = 103913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769672393798828 × 217)
    floor (0.769672393798828 × 131072)
    floor (100882.5)     		ty = 100882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103913 / 100882 ti = "17/103913/100882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103913/100882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103913 ÷ 217
    103913 ÷ 131072     		x = 0.792793273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100882 ÷ 217
    100882 ÷ 131072     		y = 0.769668579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792793273925781 × 2 - 1) × π
    0.585586547851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.83967440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769668579101562 × 2 - 1) × π
    -0.539337158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6943776539705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83967440} λ = 1.83967440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6943776539705))-π/2
    2×atan(0.183713526841628)-π/2
    2×0.18168757990419-π/2
    0.36337515980838-1.57079632675     		φ = -1.20742117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83967440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.405579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20742117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.180137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103913 KachelY 100882 1.83967440 -1.20742117 105.405579 -69.180137
    Oben rechts KachelX + 1 103914 KachelY 100882 1.83972233 -1.20742117 105.408325 -69.180137
    Unten links KachelX 103913 KachelY + 1 100883 1.83967440 -1.20743820 105.405579 -69.181113
    Unten rechts KachelX + 1 103914 KachelY + 1 100883 1.83972233 -1.20743820 105.408325 -69.181113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20742117--1.20743820) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20742117--1.20743820) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83967440-1.83972233) × cos(-1.20742117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355431019305152 × 6371000     		do = 108.535137580057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83967440-1.83972233) × cos(-1.20743820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355415101269791 × 6371000     		du = 108.530276816465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20742117)-sin(-1.20743820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355431019305152-0.355415101269791)×R²
    abs(1.83972233-1.83967440)×1.59180353614397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59180353614397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59180353614397e-05×40589641000000     		ar = 11775.5957752211m²