Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103912 / 100885
↖ ↑ ↗
← S 69.183066°
E105.402832°		 ← 108.54 m → S 69.183066°
E105.405579°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 69.184041°
E105.402832°		 ← 108.54 m →
11 776 m²		 S 69.184041°
E105.405579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792789459228516 y=0.769695281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792789459228516 × 217)
    floor (0.792789459228516 × 131072)
    floor (103912.5)     		tx = 103912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769695281982422 × 217)
    floor (0.769695281982422 × 131072)
    floor (100885.5)     		ty = 100885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103912 / 100885 ti = "17/103912/100885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103912/100885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103912 ÷ 217
    103912 ÷ 131072     		x = 0.79278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100885 ÷ 217
    100885 ÷ 131072     		y = 0.769691467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79278564453125 × 2 - 1) × π
    0.5855712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83962646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769691467285156 × 2 - 1) × π
    -0.539382934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.69452146466936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83962646} λ = 1.83962646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69452146466936))-π/2
    2×atan(0.183687108770589)-π/2
    2×0.181662024229995-π/2
    0.363324048459991-1.57079632675     		φ = -1.20747228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83962646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20747228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.183066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103912 KachelY 100885 1.83962646 -1.20747228 105.402832 -69.183066
    Oben rechts KachelX + 1 103913 KachelY 100885 1.83967440 -1.20747228 105.405579 -69.183066
    Unten links KachelX 103912 KachelY + 1 100886 1.83962646 -1.20748931 105.402832 -69.184041
    Unten rechts KachelX + 1 103913 KachelY + 1 100886 1.83967440 -1.20748931 105.405579 -69.184041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20747228--1.20748931) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20747228--1.20748931) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83962646-1.83967440) × cos(-1.20747228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355383246195425 × 6371000     		do = 108.543190952769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83962646-1.83967440) × cos(-1.20748931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355367327850723 × 6371000     		du = 108.538329080559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20747228)-sin(-1.20748931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355383246195425-0.355367327850723)×R²
    abs(1.83967440-1.83962646)×1.59183447020483e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59183447020483e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59183447020483e-05×40589641000000     		ar = 11776.4694908283m²