Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103911 / 100857
↖ ↑ ↗
← S 69.155718°
E105.400085°		 ← 108.68 m → S 69.155718°
E105.402832°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 69.156695°
E105.400085°		 ← 108.67 m →
11 812 m²		 S 69.156695°
E105.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792781829833984 y=0.769481658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792781829833984 × 217)
    floor (0.792781829833984 × 131072)
    floor (103911.5)     		tx = 103911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769481658935547 × 217)
    floor (0.769481658935547 × 131072)
    floor (100857.5)     		ty = 100857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103911 / 100857 ti = "17/103911/100857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103911/100857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103911 ÷ 217
    103911 ÷ 131072     		x = 0.792778015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100857 ÷ 217
    100857 ÷ 131072     		y = 0.769477844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792778015136719 × 2 - 1) × π
    0.585556030273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.83957852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769477844238281 × 2 - 1) × π
    -0.538955688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.69317923148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83957852} λ = 1.83957852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69317923148))-π/2
    2×atan(0.183933825242917)-π/2
    2×0.181900677493433-π/2
    0.363801354986866-1.57079632675     		φ = -1.20699497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83957852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.400085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20699497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.155718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103911 KachelY 100857 1.83957852 -1.20699497 105.400085 -69.155718
    Oben rechts KachelX + 1 103912 KachelY 100857 1.83962646 -1.20699497 105.402832 -69.155718
    Unten links KachelX 103911 KachelY + 1 100858 1.83957852 -1.20701203 105.400085 -69.156695
    Unten rechts KachelX + 1 103912 KachelY + 1 100858 1.83962646 -1.20701203 105.402832 -69.156695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20699497--1.20701203) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20699497--1.20701203) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83957852-1.83962646) × cos(-1.20699497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35582935722336 × 6371000     		do = 108.679444743598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83957852-1.83962646) × cos(-1.20701203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355813413732461 × 6371000     		du = 108.674575191092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20699497)-sin(-1.20701203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35582935722336-0.355813413732461)×R²
    abs(1.83962646-1.83957852)×1.59434908994505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59434908994505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59434908994505e-05×40589641000000     		ar = 11812.0237926347m²