Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10391 / 6292
↖ ↑ ↗
← N 80.966455°
W122.920532°		 ← 95.91 m → N 80.966455°
W122.915039°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 80.965592°
W122.920532°		 ← 95.92 m →
9 203 m²		 N 80.965592°
W122.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158561706542969 y=0.0960159301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158561706542969 × 216)
    floor (0.158561706542969 × 65536)
    floor (10391.5)     		tx = 10391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960159301757812 × 216)
    floor (0.0960159301757812 × 65536)
    floor (6292.5)     		ty = 6292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10391 / 6292 ti = "16/10391/6292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10391/6292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10391 ÷ 216
    10391 ÷ 65536     		x = 0.158554077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6292 ÷ 216
    6292 ÷ 65536     		y = 0.09600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.682891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14536801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09600830078125 × 2 - 1) × π
    0.8079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53835470868121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14536801} λ = -2.14536801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53835470868121))-π/2
    2×atan(12.6588263706825)-π/2
    2×1.49196377248421-π/2
    2.98392754496841-1.57079632675     		φ = 1.41313122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14536801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.920532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41313122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.966455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10391 KachelY 6292 -2.14536801 1.41313122 -122.920532 80.966455
    Oben rechts KachelX + 1 10392 KachelY 6292 -2.14527213 1.41313122 -122.915039 80.966455
    Unten links KachelX 10391 KachelY + 1 6293 -2.14536801 1.41311616 -122.920532 80.965592
    Unten rechts KachelX + 1 10392 KachelY + 1 6293 -2.14527213 1.41311616 -122.915039 80.965592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41313122-1.41311616) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41313122-1.41311616) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14536801--2.14527213) × cos(1.41313122) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157012704153405 × 6371000     		do = 95.9114427108466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14536801--2.14527213) × cos(1.41311616) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157027577340139 × 6371000     		du = 95.9205280189752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41313122)-sin(1.41311616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157012704153405-0.157027577340139)×R²
    abs(-2.14527213--2.14536801)×1.48731867337104e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48731867337104e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48731867337104e-05×40589641000000     		ar = 9202.87598579586m²