Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10391 / 2026
↖ ↑ ↗
← N 79.261777°
E 48.317871°		 ← 455.22 m → N 79.261777°
E 48.339844°		 →
↑
455.34 m
↓
↑
455.34 m
↓
N 79.257682°
E 48.317871°		 ← 455.40 m →
207 319 m²		 N 79.257682°
E 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634246826171875 y=0.123687744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634246826171875 × 214)
    floor (0.634246826171875 × 16384)
    floor (10391.5)     		tx = 10391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123687744140625 × 214)
    floor (0.123687744140625 × 16384)
    floor (2026.5)     		ty = 2026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10391 / 2026 ti = "14/10391/2026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10391/2026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10391 ÷ 214
    10391 ÷ 16384     		x = 0.63421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2026 ÷ 214
    2026 ÷ 16384     		y = 0.1236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    0.2684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84330594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1236572265625 × 2 - 1) × π
    0.752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36463138445813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84330594} λ = 0.84330594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36463138445813))-π/2
    2×atan(10.640115982427)-π/2
    2×1.47708765093901-π/2
    2.95417530187802-1.57079632675     		φ = 1.38337898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84330594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38337898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.261777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10391 KachelY 2026 0.84330594 1.38337898 48.317871 79.261777
    Oben rechts KachelX + 1 10392 KachelY 2026 0.84368943 1.38337898 48.339844 79.261777
    Unten links KachelX 10391 KachelY + 1 2027 0.84330594 1.38330751 48.317871 79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 10392 KachelY + 1 2027 0.84368943 1.38330751 48.339844 79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38337898-1.38330751) × R
    7.14699999999624e-05 × 6371000     		dl = 455.33536999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38337898-1.38330751) × R
    7.14699999999624e-05 × 6371000     		dr = 455.33536999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84330594-0.84368943) × cos(1.38337898) × R
    0.000383489999999931 × 0.186322091557394 × 6371000     		do = 455.224889796677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84330594-0.84368943) × cos(1.38330751) × R
    0.000383489999999931 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 455.396447434846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38337898)-sin(1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186322091557394-0.186392309550045)×R²
    abs(0.84368943-0.84330594)×7.02179926508339e-05×R²
    0.000383489999999931×7.02179926508339e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.02179926508339e-05×40589641000000     		ar = 207319.0518476m²