Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103907 / 99229
↖ ↑ ↗
← S 67.505416°
E105.389099°		 ← 116.83 m → S 67.505416°
E105.391846°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.506467°
E105.389099°		 ← 116.83 m →
13 651 m²		 S 67.506467°
E105.391846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792751312255859 y=0.757061004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792751312255859 × 217)
    floor (0.792751312255859 × 131072)
    floor (103907.5)     		tx = 103907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757061004638672 × 217)
    floor (0.757061004638672 × 131072)
    floor (99229.5)     		ty = 99229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103907 / 99229 ti = "17/103907/99229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103907/99229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103907 ÷ 217
    103907 ÷ 131072     		x = 0.792747497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99229 ÷ 217
    99229 ÷ 131072     		y = 0.757057189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792747497558594 × 2 - 1) × π
    0.585494995117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.83938678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757057189941406 × 2 - 1) × π
    -0.514114379882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61513795889855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83938678} λ = 1.83938678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61513795889855))-π/2
    2×atan(0.198863233595615)-π/2
    2×0.196302276664313-π/2
    0.392604553328626-1.57079632675     		φ = -1.17819177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83938678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.389099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17819177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.505416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103907 KachelY 99229 1.83938678 -1.17819177 105.389099 -67.505416
    Oben rechts KachelX + 1 103908 KachelY 99229 1.83943471 -1.17819177 105.391846 -67.505416
    Unten links KachelX 103907 KachelY + 1 99230 1.83938678 -1.17821011 105.389099 -67.506467
    Unten rechts KachelX + 1 103908 KachelY + 1 99230 1.83943471 -1.17821011 105.391846 -67.506467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17819177--1.17821011) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17819177--1.17821011) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83938678-1.83943471) × cos(-1.17819177) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.382596101031631 × 6371000     		do = 116.830322080634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83938678-1.83943471) × cos(-1.17821011) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.382579156353322 × 6371000     		du = 116.825147819268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17819177)-sin(-1.17821011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382596101031631-0.382579156353322)×R²
    abs(1.83943471-1.83938678)×1.69446783087057e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.69446783087057e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.69446783087057e-05×40589641000000     		ar = 13650.6362186025m²