Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103905 / 99230
↖ ↑ ↗
← S 67.506467°
E105.383606°		 ← 116.85 m → S 67.506467°
E105.386353°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.507517°
E105.383606°		 ← 116.84 m →
13 653 m²		 S 67.507517°
E105.386353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792736053466797 y=0.757068634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792736053466797 × 217)
    floor (0.792736053466797 × 131072)
    floor (103905.5)     		tx = 103905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757068634033203 × 217)
    floor (0.757068634033203 × 131072)
    floor (99230.5)     		ty = 99230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103905 / 99230 ti = "17/103905/99230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103905/99230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103905 ÷ 217
    103905 ÷ 131072     		x = 0.792732238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99230 ÷ 217
    99230 ÷ 131072     		y = 0.757064819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792732238769531 × 2 - 1) × π
    0.585464477539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.83929090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757064819335938 × 2 - 1) × π
    -0.514129638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61518589579817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83929090} λ = 1.83929090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61518589579817))-π/2
    2×atan(0.198853700937233)-π/2
    2×0.196293106632016-π/2
    0.392586213264031-1.57079632675     		φ = -1.17821011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83929090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.383606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17821011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.506467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103905 KachelY 99230 1.83929090 -1.17821011 105.383606 -67.506467
    Oben rechts KachelX + 1 103906 KachelY 99230 1.83933884 -1.17821011 105.386353 -67.506467
    Unten links KachelX 103905 KachelY + 1 99231 1.83929090 -1.17822845 105.383606 -67.507517
    Unten rechts KachelX + 1 103906 KachelY + 1 99231 1.83933884 -1.17822845 105.386353 -67.507517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17821011--1.17822845) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17821011--1.17822845) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83929090-1.83933884) × cos(-1.17821011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382579156353322 × 6371000     		do = 116.849521937713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83929090-1.83933884) × cos(-1.17822845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382562211546331 × 6371000     		du = 116.844346557498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17821011)-sin(-1.17822845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382579156353322-0.382562211546331)×R²
    abs(1.83933884-1.83929090)×1.69448069913258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69448069913258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69448069913258e-05×40589641000000     		ar = 13652.8795443516m²