Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103904 / 99239
↖ ↑ ↗
← S 67.515922°
E105.380859°		 ← 116.80 m → S 67.515922°
E105.383606°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
S 67.516972°
E105.380859°		 ← 116.80 m →
13 640 m²		 S 67.516972°
E105.383606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792728424072266 y=0.757137298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792728424072266 × 217)
    floor (0.792728424072266 × 131072)
    floor (103904.5)     		tx = 103904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757137298583984 × 217)
    floor (0.757137298583984 × 131072)
    floor (99239.5)     		ty = 99239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103904 / 99239 ti = "17/103904/99239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103904/99239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103904 ÷ 217
    103904 ÷ 131072     		x = 0.792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99239 ÷ 217
    99239 ÷ 131072     		y = 0.757133483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792724609375 × 2 - 1) × π
    0.58544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83924296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757133483886719 × 2 - 1) × π
    -0.514266967773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61561732789475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83924296} λ = 1.83924296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61561732789475))-π/2
    2×atan(0.198767927572147)-π/2
    2×0.196210594615474-π/2
    0.392421189230948-1.57079632675     		φ = -1.17837514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83924296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17837514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.515922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103904 KachelY 99239 1.83924296 -1.17837514 105.380859 -67.515922
    Oben rechts KachelX + 1 103905 KachelY 99239 1.83929090 -1.17837514 105.383606 -67.515922
    Unten links KachelX 103904 KachelY + 1 99240 1.83924296 -1.17839347 105.380859 -67.516972
    Unten rechts KachelX + 1 103905 KachelY + 1 99240 1.83929090 -1.17839347 105.383606 -67.516972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17837514--1.17839347) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dl = 116.780430000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17837514--1.17839347) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dr = 116.780430000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83924296-1.83929090) × cos(-1.17837514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382426676178084 × 6371000     		do = 116.802950567355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83924296-1.83929090) × cos(-1.17839347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382409739453345 × 6371000     		du = 116.797777655668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17837514)-sin(-1.17839347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382426676178084-0.382409739453345)×R²
    abs(1.83929090-1.83924296)×1.69367247397911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69367247397911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69367247397911e-05×40589641000000     		ar = 13639.9967455976m²