Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103900 / 99491
↖ ↑ ↗
← S 67.779142°
E105.369873°		 ← 115.48 m → S 67.779142°
E105.372619°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.780180°
E105.369873°		 ← 115.48 m →
13 331 m²		 S 67.780180°
E105.372619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792697906494141 y=0.759059906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792697906494141 × 217)
    floor (0.792697906494141 × 131072)
    floor (103900.5)     		tx = 103900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759059906005859 × 217)
    floor (0.759059906005859 × 131072)
    floor (99491.5)     		ty = 99491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103900 / 99491 ti = "17/103900/99491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103900/99491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103900 ÷ 217
    103900 ÷ 131072     		x = 0.792694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99491 ÷ 217
    99491 ÷ 131072     		y = 0.759056091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792694091796875 × 2 - 1) × π
    0.58538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83905122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759056091308594 × 2 - 1) × π
    -0.518112182617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.62769742659901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83905122} λ = 1.83905122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62769742659901))-π/2
    2×atan(0.196381236145684)-π/2
    2×0.19391357011037-π/2
    0.387827140220741-1.57079632675     		φ = -1.18296919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83905122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18296919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.779142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103900 KachelY 99491 1.83905122 -1.18296919 105.369873 -67.779142
    Oben rechts KachelX + 1 103901 KachelY 99491 1.83909915 -1.18296919 105.372619 -67.779142
    Unten links KachelX 103900 KachelY + 1 99492 1.83905122 -1.18298731 105.369873 -67.780180
    Unten rechts KachelX + 1 103901 KachelY + 1 99492 1.83909915 -1.18298731 105.372619 -67.780180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18296919--1.18298731) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18296919--1.18298731) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83905122-1.83909915) × cos(-1.18296919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378177818342353 × 6371000     		do = 115.481146310063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83905122-1.83909915) × cos(-1.18298731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378161043998795 × 6371000     		du = 115.476024062462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18296919)-sin(-1.18298731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378177818342353-0.378161043998795)×R²
    abs(1.83909915-1.83905122)×1.67743435582901e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67743435582901e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67743435582901e-05×40589641000000     		ar = 13331.1388803407m²