Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10390 / 6293
↖ ↑ ↗
← N 80.965592°
W122.926025°		 ← 95.91 m → N 80.965592°
W122.920532°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 80.964730°
W122.926025°		 ← 95.92 m →
9 197 m²		 N 80.964730°
W122.920532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158546447753906 y=0.0960311889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158546447753906 × 216)
    floor (0.158546447753906 × 65536)
    floor (10390.5)     		tx = 10390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960311889648438 × 216)
    floor (0.0960311889648438 × 65536)
    floor (6293.5)     		ty = 6293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10390 / 6293 ti = "16/10390/6293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10390/6293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10390 ÷ 216
    10390 ÷ 65536     		x = 0.158538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6293 ÷ 216
    6293 ÷ 65536     		y = 0.0960235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.68292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14546388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960235595703125 × 2 - 1) × π
    0.807952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53825883488197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14546388} λ = -2.14546388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53825883488197))-π/2
    2×atan(12.6576127790812)-π/2
    2×1.49195624542554-π/2
    2.98391249085108-1.57079632675     		φ = 1.41311616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14546388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41311616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.965592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10390 KachelY 6293 -2.14546388 1.41311616 -122.926025 80.965592
    Oben rechts KachelX + 1 10391 KachelY 6293 -2.14536801 1.41311616 -122.920532 80.965592
    Unten links KachelX 10390 KachelY + 1 6294 -2.14546388 1.41310111 -122.926025 80.964730
    Unten rechts KachelX + 1 10391 KachelY + 1 6294 -2.14536801 1.41310111 -122.920532 80.964730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41311616-1.41310111) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41311616-1.41310111) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14546388--2.14536801) × cos(1.41311616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157027577340139 × 6371000     		do = 95.9105237920837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14546388--2.14536801) × cos(1.41310111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157042440615339 × 6371000     		du = 95.9196020987985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41311616)-sin(1.41310111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157027577340139-0.157042440615339)×R²
    abs(-2.14536801--2.14546388)×1.48632752008104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48632752008104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48632752008104e-05×40589641000000     		ar = 9196.67673399355m²