Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1039 / 966
↖ ↑ ↗
← N 79.639874°
W134.340820°		 ← 878.76 m → N 79.639874°
W134.296875°		 →
↑
879.13 m
↓
↑
879.13 m
↓
N 79.631968°
W134.340820°		 ← 879.42 m →
772 840 m²		 N 79.631968°
W134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12689208984375 y=0.11798095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12689208984375 × 213)
    floor (0.12689208984375 × 8192)
    floor (1039.5)     		tx = 1039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11798095703125 × 213)
    floor (0.11798095703125 × 8192)
    floor (966.5)     		ty = 966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1039 / 966 ti = "13/1039/966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1039/966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1039 ÷ 213
    1039 ÷ 8192     		x = 0.1268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 966 ÷ 213
    966 ÷ 8192     		y = 0.117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34468963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117919921875 × 2 - 1) × π
    0.76416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40067993297241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34468963} λ = -2.34468963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40067993297241))-π/2
    2×atan(11.0306739503571)-π/2
    2×1.48038717196496-π/2
    2.96077434392993-1.57079632675     		φ = 1.38997802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34468963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38997802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.639874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1039 KachelY 966 -2.34468963 1.38997802 -134.340820 79.639874
    Oben rechts KachelX + 1 1040 KachelY 966 -2.34392264 1.38997802 -134.296875 79.639874
    Unten links KachelX 1039 KachelY + 1 967 -2.34468963 1.38984003 -134.340820 79.631968
    Unten rechts KachelX + 1 1040 KachelY + 1 967 -2.34392264 1.38984003 -134.296875 79.631968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38997802-1.38984003) × R
    0.000137990000000032 × 6371000     		dl = 879.134290000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38997802-1.38984003) × R
    0.000137990000000032 × 6371000     		dr = 879.134290000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34468963--2.34392264) × cos(1.38997802) × R
    0.000766989999999801 × 0.179834599373472 × 6371000     		do = 878.760563148079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34468963--2.34392264) × cos(1.38984003) × R
    0.000766989999999801 × 0.179970337990931 × 6371000     		du = 879.423848991486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38997802)-sin(1.38984003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179834599373472-0.179970337990931)×R²
    abs(-2.34392264--2.34468963)×0.000135738617458997×R²
    0.000766989999999801×0.000135738617458997×6371000²
    0.000766989999999801×0.000135738617458997×40589641000000     		ar = 772840.103654154m²