Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103897 / 100887
↖ ↑ ↗
← S 69.185018°
E105.361634°		 ← 108.51 m → S 69.185018°
E105.364380°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 69.185993°
E105.361634°		 ← 108.51 m →
11 773 m²		 S 69.185993°
E105.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792675018310547 y=0.769710540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792675018310547 × 217)
    floor (0.792675018310547 × 131072)
    floor (103897.5)     		tx = 103897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769710540771484 × 217)
    floor (0.769710540771484 × 131072)
    floor (100887.5)     		ty = 100887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103897 / 100887 ti = "17/103897/100887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103897/100887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103897 ÷ 217
    103897 ÷ 131072     		x = 0.792671203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100887 ÷ 217
    100887 ÷ 131072     		y = 0.769706726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792671203613281 × 2 - 1) × π
    0.585342407226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.83890741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769706726074219 × 2 - 1) × π
    -0.539413452148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6946173384686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83890741} λ = 1.83890741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6946173384686))-π/2
    2×atan(0.183669498833779)-π/2
    2×0.181644989022243-π/2
    0.363289978044486-1.57079632675     		φ = -1.20750635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83890741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.361634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20750635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.185018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103897 KachelY 100887 1.83890741 -1.20750635 105.361634 -69.185018
    Oben rechts KachelX + 1 103898 KachelY 100887 1.83895534 -1.20750635 105.364380 -69.185018
    Unten links KachelX 103897 KachelY + 1 100888 1.83890741 -1.20752338 105.361634 -69.185993
    Unten rechts KachelX + 1 103898 KachelY + 1 100888 1.83895534 -1.20752338 105.364380 -69.185993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20750635--1.20752338) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20750635--1.20752338) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83890741-1.83895534) × cos(-1.20750635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355351400055629 × 6371000     		do = 108.510824884395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83890741-1.83895534) × cos(-1.20752338) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355335481504743 × 6371000     		du = 108.505963963382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20750635)-sin(-1.20752338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355351400055629-0.355335481504743)×R²
    abs(1.83895534-1.83890741)×1.59185508858961e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59185508858961e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59185508858961e-05×40589641000000     		ar = 11772.9578845579m²