Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103897 / 100865
↖ ↑ ↗
← S 69.163535°
E105.361634°		 ← 108.62 m → S 69.163535°
E105.364380°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 69.164512°
E105.361634°		 ← 108.61 m →
11 798 m²		 S 69.164512°
E105.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792675018310547 y=0.769542694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792675018310547 × 217)
    floor (0.792675018310547 × 131072)
    floor (103897.5)     		tx = 103897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769542694091797 × 217)
    floor (0.769542694091797 × 131072)
    floor (100865.5)     		ty = 100865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103897 / 100865 ti = "17/103897/100865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103897/100865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103897 ÷ 217
    103897 ÷ 131072     		x = 0.792671203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100865 ÷ 217
    100865 ÷ 131072     		y = 0.769538879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792671203613281 × 2 - 1) × π
    0.585342407226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.83890741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769538879394531 × 2 - 1) × π
    -0.539077758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.69356272667696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83890741} λ = 1.83890741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69356272667696))-π/2
    2×atan(0.183863301028091)-π/2
    2×0.181832460294361-π/2
    0.363664920588723-1.57079632675     		φ = -1.20713141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83890741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.361634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20713141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.163535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103897 KachelY 100865 1.83890741 -1.20713141 105.361634 -69.163535
    Oben rechts KachelX + 1 103898 KachelY 100865 1.83895534 -1.20713141 105.364380 -69.163535
    Unten links KachelX 103897 KachelY + 1 100866 1.83890741 -1.20714846 105.361634 -69.164512
    Unten rechts KachelX + 1 103898 KachelY + 1 100866 1.83895534 -1.20714846 105.364380 -69.164512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20713141--1.20714846) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20713141--1.20714846) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83890741-1.83895534) × cos(-1.20713141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355701843780802 × 6371000     		do = 108.617837091715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83890741-1.83895534) × cos(-1.20714846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355685908807873 × 6371000     		du = 108.612971156034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20713141)-sin(-1.20714846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355701843780802-0.355685908807873)×R²
    abs(1.83895534-1.83890741)×1.59349729291214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59349729291214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59349729291214e-05×40589641000000     		ar = 11798.4080116578m²