Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103895 / 99463
↖ ↑ ↗
← S 67.750040°
E105.356140°		 ← 115.65 m → S 67.750040°
E105.358887°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.751080°
E105.356140°		 ← 115.64 m →
13 373 m²		 S 67.751080°
E105.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792659759521484 y=0.758846282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792659759521484 × 217)
    floor (0.792659759521484 × 131072)
    floor (103895.5)     		tx = 103895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758846282958984 × 217)
    floor (0.758846282958984 × 131072)
    floor (99463.5)     		ty = 99463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103895 / 99463 ti = "17/103895/99463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103895/99463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103895 ÷ 217
    103895 ÷ 131072     		x = 0.792655944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99463 ÷ 217
    99463 ÷ 131072     		y = 0.758842468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792655944824219 × 2 - 1) × π
    0.585311889648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.83881153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758842468261719 × 2 - 1) × π
    -0.517684936523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62635519340965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83881153} λ = 1.83881153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62635519340965))-π/2
    2×atan(0.196645002537009)-π/2
    2×0.194167529256952-π/2
    0.388335058513905-1.57079632675     		φ = -1.18246127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83881153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.356140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18246127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.750040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103895 KachelY 99463 1.83881153 -1.18246127 105.356140 -67.750040
    Oben rechts KachelX + 1 103896 KachelY 99463 1.83885947 -1.18246127 105.358887 -67.750040
    Unten links KachelX 103895 KachelY + 1 99464 1.83881153 -1.18247942 105.356140 -67.751080
    Unten rechts KachelX + 1 103896 KachelY + 1 99464 1.83885947 -1.18247942 105.358887 -67.751080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18246127--1.18247942) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18246127--1.18247942) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83881153-1.83885947) × cos(-1.18246127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378647967832225 × 6371000     		do = 115.648835774578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83881153-1.83885947) × cos(-1.18247942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378631169204887 × 6371000     		du = 115.643705041392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18246127)-sin(-1.18247942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378647967832225-0.378631169204887)×R²
    abs(1.83885947-1.83881153)×1.67986273374998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67986273374998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67986273374998e-05×40589641000000     		ar = 13372.6003566655m²