Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103894 / 99232
↖ ↑ ↗
← S 67.508568°
E105.353394°		 ← 116.81 m → S 67.508568°
E105.356140°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.509619°
E105.353394°		 ← 116.81 m →
13 649 m²		 S 67.509619°
E105.356140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792652130126953 y=0.757083892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792652130126953 × 217)
    floor (0.792652130126953 × 131072)
    floor (103894.5)     		tx = 103894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757083892822266 × 217)
    floor (0.757083892822266 × 131072)
    floor (99232.5)     		ty = 99232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103894 / 99232 ti = "17/103894/99232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103894/99232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103894 ÷ 217
    103894 ÷ 131072     		x = 0.792648315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99232 ÷ 217
    99232 ÷ 131072     		y = 0.757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792648315429688 × 2 - 1) × π
    0.585296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83876360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83876360} λ = 1.83876360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61528176959741))-π/2
    2×atan(0.198834636991312)-π/2
    2×0.196274767785801-π/2
    0.392549535571601-1.57079632675     		φ = -1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83876360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.353394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103894 KachelY 99232 1.83876360 -1.17824679 105.353394 -67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 103895 KachelY 99232 1.83881153 -1.17824679 105.356140 -67.508568
    Unten links KachelX 103894 KachelY + 1 99233 1.83876360 -1.17826513 105.353394 -67.509619
    Unten rechts KachelX + 1 103895 KachelY + 1 99233 1.83881153 -1.17826513 105.356140 -67.509619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17824679--1.17826513) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17824679--1.17826513) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83876360-1.83881153) × cos(-1.17824679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 116.814799179195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83876360-1.83881153) × cos(-1.17826513) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382528321546323 × 6371000     		du = 116.809624799949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17824679)-sin(-1.17826513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382528321546323)×R²
    abs(1.83881153-1.83876360)×1.69450643395797e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69450643395797e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69450643395797e-05×40589641000000     		ar = 13648.8224517112m²