Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103893 / 99231
↖ ↑ ↗
← S 67.507517°
E105.350647°		 ← 116.84 m → S 67.507517°
E105.353394°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.508568°
E105.350647°		 ← 116.84 m →
13 652 m²		 S 67.508568°
E105.353394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792644500732422 y=0.757076263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792644500732422 × 217)
    floor (0.792644500732422 × 131072)
    floor (103893.5)     		tx = 103893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757076263427734 × 217)
    floor (0.757076263427734 × 131072)
    floor (99231.5)     		ty = 99231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103893 / 99231 ti = "17/103893/99231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103893/99231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103893 ÷ 217
    103893 ÷ 131072     		x = 0.792640686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99231 ÷ 217
    99231 ÷ 131072     		y = 0.757072448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792640686035156 × 2 - 1) × π
    0.585281372070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.83871566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757072448730469 × 2 - 1) × π
    -0.514144897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.61523383269779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83871566} λ = 1.83871566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61523383269779))-π/2
    2×atan(0.198844168735806)-π/2
    2×0.19628393700585-π/2
    0.3925678740117-1.57079632675     		φ = -1.17822845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83871566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.350647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17822845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.507517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103893 KachelY 99231 1.83871566 -1.17822845 105.350647 -67.507517
    Oben rechts KachelX + 1 103894 KachelY 99231 1.83876360 -1.17822845 105.353394 -67.507517
    Unten links KachelX 103893 KachelY + 1 99232 1.83871566 -1.17824679 105.350647 -67.508568
    Unten rechts KachelX + 1 103894 KachelY + 1 99232 1.83876360 -1.17824679 105.353394 -67.508568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17822845--1.17824679) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17822845--1.17824679) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83871566-1.83876360) × cos(-1.17822845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382562211546331 × 6371000     		do = 116.844346557498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83871566-1.83876360) × cos(-1.17824679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382545266610663 × 6371000     		du = 116.839171137982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17822845)-sin(-1.17824679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382562211546331-0.382545266610663)×R²
    abs(1.83876360-1.83871566)×1.69449356682838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69449356682838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69449356682838e-05×40589641000000     		ar = 13652.2748289387m²