Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103892 / 100892
↖ ↑ ↗
← S 69.189897°
E105.347900°		 ← 108.51 m → S 69.189897°
E105.350647°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 69.190873°
E105.347900°		 ← 108.50 m →
11 773 m²		 S 69.190873°
E105.350647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792636871337891 y=0.769748687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792636871337891 × 217)
    floor (0.792636871337891 × 131072)
    floor (103892.5)     		tx = 103892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769748687744141 × 217)
    floor (0.769748687744141 × 131072)
    floor (100892.5)     		ty = 100892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103892 / 100892 ti = "17/103892/100892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103892/100892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103892 ÷ 217
    103892 ÷ 131072     		x = 0.792633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100892 ÷ 217
    100892 ÷ 131072     		y = 0.769744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792633056640625 × 2 - 1) × π
    0.58526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83866772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.53948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69485702296671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83866772} λ = 1.83866772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69485702296671))-π/2
    2×atan(0.183625481377496)-π/2
    2×0.181602407681329-π/2
    0.363204815362658-1.57079632675     		φ = -1.20759151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83866772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.347900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20759151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.189897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103892 KachelY 100892 1.83866772 -1.20759151 105.347900 -69.189897
    Oben rechts KachelX + 1 103893 KachelY 100892 1.83871566 -1.20759151 105.350647 -69.189897
    Unten links KachelX 103892 KachelY + 1 100893 1.83866772 -1.20760854 105.347900 -69.190873
    Unten rechts KachelX + 1 103893 KachelY + 1 100893 1.83871566 -1.20760854 105.350647 -69.190873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20759151--1.20760854) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20759151--1.20760854) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83866772-1.83871566) × cos(-1.20759151) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.355271796923068 × 6371000     		do = 108.509151476789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83866772-1.83871566) × cos(-1.20760854) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.355255877856894 × 6371000     		du = 108.504289384223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20759151)-sin(-1.20760854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355271796923068-0.355255877856894)×R²
    abs(1.83871566-1.83866772)×1.59190661738196e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.59190661738196e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.59190661738196e-05×40589641000000     		ar = 11772.7762594615m²