Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103891 / 100894
↖ ↑ ↗
← S 69.191848°
E105.345154°		 ← 108.50 m → S 69.191848°
E105.347900°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 69.192824°
E105.345154°		 ← 108.49 m →
11 772 m²		 S 69.192824°
E105.347900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792629241943359 y=0.769763946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792629241943359 × 217)
    floor (0.792629241943359 × 131072)
    floor (103891.5)     		tx = 103891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769763946533203 × 217)
    floor (0.769763946533203 × 131072)
    floor (100894.5)     		ty = 100894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103891 / 100894 ti = "17/103891/100894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103891/100894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103891 ÷ 217
    103891 ÷ 131072     		x = 0.792625427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100894 ÷ 217
    100894 ÷ 131072     		y = 0.769760131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792625427246094 × 2 - 1) × π
    0.585250854492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.83861978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769760131835938 × 2 - 1) × π
    -0.539520263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69495289676595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83861978} λ = 1.83861978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69495289676595))-π/2
    2×atan(0.183607877348855)-π/2
    2×0.181585377816043-π/2
    0.363170755632086-1.57079632675     		φ = -1.20762557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83861978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.345154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20762557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.191848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103891 KachelY 100894 1.83861978 -1.20762557 105.345154 -69.191848
    Oben rechts KachelX + 1 103892 KachelY 100894 1.83866772 -1.20762557 105.347900 -69.191848
    Unten links KachelX 103891 KachelY + 1 100895 1.83861978 -1.20764260 105.345154 -69.192824
    Unten rechts KachelX + 1 103892 KachelY + 1 100895 1.83866772 -1.20764260 105.347900 -69.192824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20762557--1.20764260) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20762557--1.20764260) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83861978-1.83866772) × cos(-1.20762557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355239958687689 × 6371000     		do = 108.499427259686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83861978-1.83866772) × cos(-1.20764260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355224039415457 × 6371000     		du = 108.494565104184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20762557)-sin(-1.20764260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355239958687689-0.355224039415457)×R²
    abs(1.83866772-1.83861978)×1.59192722324342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59192722324342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59192722324342e-05×40589641000000     		ar = 11771.7211965924m²