Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103889 / 100881
↖ ↑ ↗
← S 69.179161°
E105.339661°		 ← 108.56 m → S 69.179161°
E105.342407°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.180137°
E105.339661°		 ← 108.56 m →
11 785 m²		 S 69.180137°
E105.342407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792613983154297 y=0.769664764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792613983154297 × 217)
    floor (0.792613983154297 × 131072)
    floor (103889.5)     		tx = 103889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769664764404297 × 217)
    floor (0.769664764404297 × 131072)
    floor (100881.5)     		ty = 100881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103889 / 100881 ti = "17/103889/100881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103889/100881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103889 ÷ 217
    103889 ÷ 131072     		x = 0.792610168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100881 ÷ 217
    100881 ÷ 131072     		y = 0.769660949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792610168457031 × 2 - 1) × π
    0.585220336914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.83852391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769660949707031 × 2 - 1) × π
    -0.539321899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.69432971707088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83852391} λ = 1.83852391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69432971707088))-π/2
    2×atan(0.183722333709608)-π/2
    2×0.181696099225664-π/2
    0.363392198451329-1.57079632675     		φ = -1.20740413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83852391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.339661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20740413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.179161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103889 KachelY 100881 1.83852391 -1.20740413 105.339661 -69.179161
    Oben rechts KachelX + 1 103890 KachelY 100881 1.83857185 -1.20740413 105.342407 -69.179161
    Unten links KachelX 103889 KachelY + 1 100882 1.83852391 -1.20742117 105.339661 -69.180137
    Unten rechts KachelX + 1 103890 KachelY + 1 100882 1.83857185 -1.20742117 105.342407 -69.180137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20740413--1.20742117) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20740413--1.20742117) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83852391-1.83857185) × cos(-1.20740413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355446946584396 × 6371000     		do = 108.562646691208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83852391-1.83857185) × cos(-1.20742117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355431019305152 × 6371000     		du = 108.557782090159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20740413)-sin(-1.20742117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355446946584396-0.355431019305152)×R²
    abs(1.83857185-1.83852391)×1.59272792435994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59272792435994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59272792435994e-05×40589641000000     		ar = 11785.4966253594m²