Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103880 / 99240
↖ ↑ ↗
← S 67.516972°
E105.314941°		 ← 116.80 m → S 67.516972°
E105.317688°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
S 67.518023°
E105.314941°		 ← 116.79 m →
13 639 m²		 S 67.518023°
E105.317688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792545318603516 y=0.757144927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792545318603516 × 217)
    floor (0.792545318603516 × 131072)
    floor (103880.5)     		tx = 103880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757144927978516 × 217)
    floor (0.757144927978516 × 131072)
    floor (99240.5)     		ty = 99240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103880 / 99240 ti = "17/103880/99240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103880/99240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103880 ÷ 217
    103880 ÷ 131072     		x = 0.79254150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99240 ÷ 217
    99240 ÷ 131072     		y = 0.75714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79254150390625 × 2 - 1) × π
    0.5850830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83809248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.5142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61566526479437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83809248} λ = 1.83809248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61566526479437))-π/2
    2×atan(0.198758399482331)-π/2
    2×0.196201428643822-π/2
    0.392402857287644-1.57079632675     		φ = -1.17839347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83809248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.314941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17839347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.516972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103880 KachelY 99240 1.83809248 -1.17839347 105.314941 -67.516972
    Oben rechts KachelX + 1 103881 KachelY 99240 1.83814042 -1.17839347 105.317688 -67.516972
    Unten links KachelX 103880 KachelY + 1 99241 1.83809248 -1.17841180 105.314941 -67.518023
    Unten rechts KachelX + 1 103881 KachelY + 1 99241 1.83814042 -1.17841180 105.317688 -67.518023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17839347--1.17841180) × R
    1.83299999998443e-05 × 6371000     		dl = 116.780429999008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17839347--1.17841180) × R
    1.83299999998443e-05 × 6371000     		dr = 116.780429999008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83809248-1.83814042) × cos(-1.17839347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382409739453345 × 6371000     		do = 116.797777655668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83809248-1.83814042) × cos(-1.17841180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38239280260012 × 6371000     		du = 116.792604704739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17839347)-sin(-1.17841180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382409739453345-0.38239280260012)×R²
    abs(1.83814042-1.83809248)×1.69368532249581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69368532249581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69368532249581e-05×40589641000000     		ar = 13639.3926480439m²