Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10387 / 6269
↖ ↑ ↗
← N 80.986271°
W122.942505°		 ← 95.69 m → N 80.986271°
W122.937012°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 80.985410°
W122.942505°		 ← 95.70 m →
9 158 m²		 N 80.985410°
W122.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158500671386719 y=0.0956649780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158500671386719 × 216)
    floor (0.158500671386719 × 65536)
    floor (10387.5)     		tx = 10387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956649780273438 × 216)
    floor (0.0956649780273438 × 65536)
    floor (6269.5)     		ty = 6269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10387 / 6269 ti = "16/10387/6269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10387/6269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10387 ÷ 216
    10387 ÷ 65536     		x = 0.158493041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6269 ÷ 216
    6269 ÷ 65536     		y = 0.0956573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158493041992188 × 2 - 1) × π
    -0.683013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14575150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0956573486328125 × 2 - 1) × π
    0.808685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54055980606374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14575150} λ = -2.14575150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54055980606374))-π/2
    2×atan(12.6867711146959)-π/2
    2×1.4921366982716-π/2
    2.9842733965432-1.57079632675     		φ = 1.41347707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14575150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41347707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.986271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10387 KachelY 6269 -2.14575150 1.41347707 -122.942505 80.986271
    Oben rechts KachelX + 1 10388 KachelY 6269 -2.14565563 1.41347707 -122.937012 80.986271
    Unten links KachelX 10387 KachelY + 1 6270 -2.14575150 1.41346205 -122.942505 80.985410
    Unten rechts KachelX + 1 10388 KachelY + 1 6270 -2.14565563 1.41346205 -122.937012 80.985410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41347707-1.41346205) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41347707-1.41346205) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14575150--2.14565563) × cos(1.41347707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156671134491668 × 6371000     		do = 95.6928128595336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14575150--2.14565563) × cos(1.41346205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156685968989413 × 6371000     		du = 95.7018735893303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41347707)-sin(1.41346205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156671134491668-0.156685968989413)×R²
    abs(-2.14565563--2.14575150)×1.48344977449477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48344977449477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48344977449477e-05×40589641000000     		ar = 9157.51036082071m²