Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103867 / 99176
↖ ↑ ↗
← S 67.449657°
E105.279236°		 ← 117.13 m → S 67.449657°
E105.281983°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.450710°
E105.279236°		 ← 117.12 m →
13 715 m²		 S 67.450710°
E105.281983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792446136474609 y=0.756656646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792446136474609 × 217)
    floor (0.792446136474609 × 131072)
    floor (103867.5)     		tx = 103867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756656646728516 × 217)
    floor (0.756656646728516 × 131072)
    floor (99176.5)     		ty = 99176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103867 / 99176 ti = "17/103867/99176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103867/99176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103867 ÷ 217
    103867 ÷ 131072     		x = 0.792442321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99176 ÷ 217
    99176 ÷ 131072     		y = 0.75665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792442321777344 × 2 - 1) × π
    0.584884643554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.83746930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.5133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61259730321869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83746930} λ = 1.83746930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61259730321869))-π/2
    2×atan(0.199369118967717)-π/2
    2×0.196788869941505-π/2
    0.393577739883009-1.57079632675     		φ = -1.17721859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83746930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.279236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17721859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.449657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103867 KachelY 99176 1.83746930 -1.17721859 105.279236 -67.449657
    Oben rechts KachelX + 1 103868 KachelY 99176 1.83751724 -1.17721859 105.281983 -67.449657
    Unten links KachelX 103867 KachelY + 1 99177 1.83746930 -1.17723697 105.279236 -67.450710
    Unten rechts KachelX + 1 103868 KachelY + 1 99177 1.83751724 -1.17723697 105.281983 -67.450710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17721859--1.17723697) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17721859--1.17723697) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83746930-1.83751724) × cos(-1.17721859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383495055997678 × 6371000     		do = 117.129261264355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83746930-1.83751724) × cos(-1.17723697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383478081213863 × 6371000     		du = 117.124076728448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17721859)-sin(-1.17723697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383495055997678-0.383478081213863)×R²
    abs(1.83751724-1.83746930)×1.69747838142387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69747838142387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69747838142387e-05×40589641000000     		ar = 13715.4134706297m²