Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103858 / 99187
↖ ↑ ↗
← S 67.461240°
E105.254517°		 ← 117.05 m → S 67.461240°
E105.257263°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.462293°
E105.254517°		 ← 117.04 m →
13 698 m²		 S 67.462293°
E105.257263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792377471923828 y=0.756740570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792377471923828 × 217)
    floor (0.792377471923828 × 131072)
    floor (103858.5)     		tx = 103858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756740570068359 × 217)
    floor (0.756740570068359 × 131072)
    floor (99187.5)     		ty = 99187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103858 / 99187 ti = "17/103858/99187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103858/99187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103858 ÷ 217
    103858 ÷ 131072     		x = 0.792373657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99187 ÷ 217
    99187 ÷ 131072     		y = 0.756736755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792373657226562 × 2 - 1) × π
    0.584747314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83703787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756736755371094 × 2 - 1) × π
    -0.513473510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.61312460911451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83703787} λ = 1.83703787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61312460911451))-π/2
    2×atan(0.199264018168411)-π/2
    2×0.196687784955087-π/2
    0.393375569910173-1.57079632675     		φ = -1.17742076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83703787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.254517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17742076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.461240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103858 KachelY 99187 1.83703787 -1.17742076 105.254517 -67.461240
    Oben rechts KachelX + 1 103859 KachelY 99187 1.83708580 -1.17742076 105.257263 -67.461240
    Unten links KachelX 103858 KachelY + 1 99188 1.83703787 -1.17743913 105.254517 -67.462293
    Unten rechts KachelX + 1 103859 KachelY + 1 99188 1.83708580 -1.17743913 105.257263 -67.462293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17742076--1.17743913) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17742076--1.17743913) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83703787-1.83708580) × cos(-1.17742076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383308335487718 × 6371000     		do = 117.047811440522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83703787-1.83708580) × cos(-1.17743913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383291368515534 × 6371000     		du = 117.042630371453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17742076)-sin(-1.17743913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383308335487718-0.383291368515534)×R²
    abs(1.83708580-1.83703787)×1.69669721843402e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69669721843402e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69669721843402e-05×40589641000000     		ar = 13698.419031261m²