Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103857 / 99185
↖ ↑ ↗
← S 67.459135°
E105.251770°		 ← 117.08 m → S 67.459135°
E105.254517°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.460187°
E105.251770°		 ← 117.08 m →
13 702 m²		 S 67.460187°
E105.254517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792369842529297 y=0.756725311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792369842529297 × 217)
    floor (0.792369842529297 × 131072)
    floor (103857.5)     		tx = 103857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756725311279297 × 217)
    floor (0.756725311279297 × 131072)
    floor (99185.5)     		ty = 99185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103857 / 99185 ti = "17/103857/99185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103857/99185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103857 ÷ 217
    103857 ÷ 131072     		x = 0.792366027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99185 ÷ 217
    99185 ÷ 131072     		y = 0.756721496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792366027832031 × 2 - 1) × π
    0.584732055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.83698993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756721496582031 × 2 - 1) × π
    -0.513442993164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61302873531527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83698993} λ = 1.83698993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61302873531527))-π/2
    2×atan(0.19928312328271)-π/2
    2×0.196706160381992-π/2
    0.393412320763983-1.57079632675     		φ = -1.17738401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83698993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.251770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17738401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.459135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103857 KachelY 99185 1.83698993 -1.17738401 105.251770 -67.459135
    Oben rechts KachelX + 1 103858 KachelY 99185 1.83703787 -1.17738401 105.254517 -67.459135
    Unten links KachelX 103857 KachelY + 1 99186 1.83698993 -1.17740238 105.251770 -67.460187
    Unten rechts KachelX + 1 103858 KachelY + 1 99186 1.83703787 -1.17740238 105.254517 -67.460187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17738401--1.17740238) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17738401--1.17740238) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83698993-1.83703787) × cos(-1.17738401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383342278280094 × 6371000     		do = 117.082599016907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83698993-1.83703787) × cos(-1.17740238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383325311566686 × 6371000     		du = 117.077416945909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17738401)-sin(-1.17740238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383342278280094-0.383325311566686)×R²
    abs(1.83703787-1.83698993)×1.6966713408173e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6966713408173e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6966713408173e-05×40589641000000     		ar = 13702.4903461945m²