Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103856 / 97625
↖ ↑ ↗
← S 65.758834°
E105.249023°		 ← 125.40 m → S 65.758834°
E105.251770°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.759962°
E105.249023°		 ← 125.40 m →
15 723 m²		 S 65.759962°
E105.251770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792362213134766 y=0.744823455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792362213134766 × 217)
    floor (0.792362213134766 × 131072)
    floor (103856.5)     		tx = 103856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744823455810547 × 217)
    floor (0.744823455810547 × 131072)
    floor (97625.5)     		ty = 97625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103856 / 97625 ti = "17/103856/97625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103856/97625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103856 ÷ 217
    103856 ÷ 131072     		x = 0.7923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97625 ÷ 217
    97625 ÷ 131072     		y = 0.744819641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7923583984375 × 2 - 1) × π
    0.584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83694199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744819641113281 × 2 - 1) × π
    -0.489639282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.53824717190798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83694199} λ = 1.83694199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53824717190798))-π/2
    2×atan(0.214757204169388)-π/2
    2×0.21154407997882-π/2
    0.42308815995764-1.57079632675     		φ = -1.14770817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83694199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.249023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14770817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.758834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103856 KachelY 97625 1.83694199 -1.14770817 105.249023 -65.758834
    Oben rechts KachelX + 1 103857 KachelY 97625 1.83698993 -1.14770817 105.251770 -65.758834
    Unten links KachelX 103856 KachelY + 1 97626 1.83694199 -1.14772785 105.249023 -65.759962
    Unten rechts KachelX + 1 103857 KachelY + 1 97626 1.83698993 -1.14772785 105.251770 -65.759962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14770817--1.14772785) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dl = 125.381280000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14770817--1.14772785) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dr = 125.381280000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83694199-1.83698993) × cos(-1.14770817) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.410578266047529 × 6371000     		do = 125.401170735982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83694199-1.83698993) × cos(-1.14772785) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.410560321244933 × 6371000     		du = 125.39568993137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14770817)-sin(-1.14772785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410578266047529-0.410560321244933)×R²
    abs(1.83698993-1.83694199)×1.79448025960371e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79448025960371e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79448025960371e-05×40589641000000     		ar = 15722.6157057548m²