Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103855 / 98062
↖ ↑ ↗
← S 66.246951°
E105.246277°		 ← 123 m → S 66.246951°
E105.249023°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.248057°
E105.246277°		 ← 122.99 m →
15 131 m²		 S 66.248057°
E105.249023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792354583740234 y=0.748157501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792354583740234 × 217)
    floor (0.792354583740234 × 131072)
    floor (103855.5)     		tx = 103855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748157501220703 × 217)
    floor (0.748157501220703 × 131072)
    floor (98062.5)     		ty = 98062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103855 / 98062 ti = "17/103855/98062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103855/98062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103855 ÷ 217
    103855 ÷ 131072     		x = 0.792350769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98062 ÷ 217
    98062 ÷ 131072     		y = 0.748153686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792350769042969 × 2 - 1) × π
    0.584701538085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.83689406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748153686523438 × 2 - 1) × π
    -0.496307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55919559704195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83689406} λ = 1.83689406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55919559704195))-π/2
    2×atan(0.210305173282021)-π/2
    2×0.207284459848672-π/2
    0.414568919697344-1.57079632675     		φ = -1.15622741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83689406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.246277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15622741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.246951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103855 KachelY 98062 1.83689406 -1.15622741 105.246277 -66.246951
    Oben rechts KachelX + 1 103856 KachelY 98062 1.83694199 -1.15622741 105.249023 -66.246951
    Unten links KachelX 103855 KachelY + 1 98063 1.83689406 -1.15624672 105.246277 -66.248057
    Unten rechts KachelX + 1 103856 KachelY + 1 98063 1.83694199 -1.15624672 105.249023 -66.248057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15622741--1.15624672) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15622741--1.15624672) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83689406-1.83694199) × cos(-1.15622741) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.402795401658421 × 6371000     		do = 122.998421524586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83689406-1.83694199) × cos(-1.15624672) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.402777727332579 × 6371000     		du = 122.993024456568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15622741)-sin(-1.15624672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402795401658421-0.402777727332579)×R²
    abs(1.83694199-1.83689406)×1.76743258422651e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76743258422651e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76743258422651e-05×40589641000000     		ar = 15131.4270556196m²