Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103850 / 99194
↖ ↑ ↗
← S 67.468608°
E105.232544°		 ← 117.04 m → S 67.468608°
E105.235291°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.469661°
E105.232544°		 ← 117.03 m →
13 697 m²		 S 67.469661°
E105.235291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792316436767578 y=0.756793975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792316436767578 × 217)
    floor (0.792316436767578 × 131072)
    floor (103850.5)     		tx = 103850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756793975830078 × 217)
    floor (0.756793975830078 × 131072)
    floor (99194.5)     		ty = 99194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103850 / 99194 ti = "17/103850/99194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103850/99194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103850 ÷ 217
    103850 ÷ 131072     		x = 0.792312622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99194 ÷ 217
    99194 ÷ 131072     		y = 0.756790161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792312622070312 × 2 - 1) × π
    0.584625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83665437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756790161132812 × 2 - 1) × π
    -0.513580322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61346016741185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83665437} λ = 1.83665437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61346016741185))-π/2
    2×atan(0.199197164691)-π/2
    2×0.196623483773474-π/2
    0.393246967546948-1.57079632675     		φ = -1.17754936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83665437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.232544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17754936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.468608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103850 KachelY 99194 1.83665437 -1.17754936 105.232544 -67.468608
    Oben rechts KachelX + 1 103851 KachelY 99194 1.83670231 -1.17754936 105.235291 -67.468608
    Unten links KachelX 103850 KachelY + 1 99195 1.83665437 -1.17756773 105.232544 -67.469661
    Unten rechts KachelX + 1 103851 KachelY + 1 99195 1.83670231 -1.17756773 105.235291 -67.469661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17754936--1.17756773) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17754936--1.17756773) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83665437-1.83670231) × cos(-1.17754936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3831895547297 × 6371000     		do = 117.035953313512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83665437-1.83670231) × cos(-1.17756773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383172586852155 × 6371000     		du = 117.030770886957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17754936)-sin(-1.17756773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3831895547297-0.383172586852155)×R²
    abs(1.83670231-1.83665437)×1.69678775446824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69678775446824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69678775446824e-05×40589641000000     		ar = 13697.0311328179m²