Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10385 / 6288
↖ ↑ ↗
← N 80.969904°
W122.953491°		 ← 95.88 m → N 80.969904°
W122.947998°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 80.969042°
W122.953491°		 ← 95.88 m →
9 193 m²		 N 80.969042°
W122.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158470153808594 y=0.0959548950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158470153808594 × 216)
    floor (0.158470153808594 × 65536)
    floor (10385.5)     		tx = 10385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0959548950195312 × 216)
    floor (0.0959548950195312 × 65536)
    floor (6288.5)     		ty = 6288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10385 / 6288 ti = "16/10385/6288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10385/6288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10385 ÷ 216
    10385 ÷ 65536     		x = 0.158462524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6288 ÷ 216
    6288 ÷ 65536     		y = 0.095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158462524414062 × 2 - 1) × π
    -0.683074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14594325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095947265625 × 2 - 1) × π
    0.80810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14594325} λ = -2.14594325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53873820387817))-π/2
    2×atan(12.6636819007715)-π/2
    2×1.4919938735929-π/2
    2.9839877471858-1.57079632675     		φ = 1.41319142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14594325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41319142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.969904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10385 KachelY 6288 -2.14594325 1.41319142 -122.953491 80.969904
    Oben rechts KachelX + 1 10386 KachelY 6288 -2.14584737 1.41319142 -122.947998 80.969904
    Unten links KachelX 10385 KachelY + 1 6289 -2.14594325 1.41317637 -122.953491 80.969042
    Unten rechts KachelX + 1 10386 KachelY + 1 6289 -2.14584737 1.41317637 -122.947998 80.969042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41319142-1.41317637) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41319142-1.41317637) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14594325--2.14584737) × cos(1.41319142) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.156953250554634 × 6371000     		do = 95.8751253924905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14594325--2.14584737) × cos(1.41317637) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.156968114007661 × 6371000     		du = 95.8842047547697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41319142)-sin(1.41317637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156953250554634-0.156968114007661)×R²
    abs(-2.14584737--2.14594325)×1.48634530264535e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.48634530264535e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.48634530264535e-05×40589641000000     		ar = 9193.28266006237m²