Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103840 / 99234
↖ ↑ ↗
← S 67.510670°
E105.205078°		 ← 116.83 m → S 67.510670°
E105.207825°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
S 67.511720°
E105.205078°		 ← 116.82 m →
13 643 m²		 S 67.511720°
E105.207825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792240142822266 y=0.757099151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792240142822266 × 217)
    floor (0.792240142822266 × 131072)
    floor (103840.5)     		tx = 103840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757099151611328 × 217)
    floor (0.757099151611328 × 131072)
    floor (99234.5)     		ty = 99234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103840 / 99234 ti = "17/103840/99234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103840/99234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103840 ÷ 217
    103840 ÷ 131072     		x = 0.792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99234 ÷ 217
    99234 ÷ 131072     		y = 0.757095336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792236328125 × 2 - 1) × π
    0.58447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83617500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757095336914062 × 2 - 1) × π
    -0.514190673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61537764339665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83617500} λ = 1.83617500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61537764339665))-π/2
    2×atan(0.198815574873037)-π/2
    2×0.196256430563993-π/2
    0.392512861127986-1.57079632675     		φ = -1.17828347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83617500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17828347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.510670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103840 KachelY 99234 1.83617500 -1.17828347 105.205078 -67.510670
    Oben rechts KachelX + 1 103841 KachelY 99234 1.83622294 -1.17828347 105.207825 -67.510670
    Unten links KachelX 103840 KachelY + 1 99235 1.83617500 -1.17830180 105.205078 -67.511720
    Unten rechts KachelX + 1 103841 KachelY + 1 99235 1.83622294 -1.17830180 105.207825 -67.511720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17828347--1.17830180) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dl = 116.780430000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17828347--1.17830180) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dr = 116.780430000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83617500-1.83622294) × cos(-1.17828347) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382511376353318 × 6371000     		do = 116.828820181595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83617500-1.83622294) × cos(-1.17830180) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382494440271231 × 6371000     		du = 116.823647466191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17828347)-sin(-1.17830180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382511376353318-0.382494440271231)×R²
    abs(1.83622294-1.83617500)×1.69360820870268e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69360820870268e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69360820870268e-05×40589641000000     		ar = 13643.0178216917m²