Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10384 / 6639
↖ ↑ ↗
← N 80.662199°
W122.958984°		 ← 99.10 m → N 80.662199°
W122.953491°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 80.661308°
W122.958984°		 ← 99.11 m →
9 819 m²		 N 80.661308°
W122.953491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158454895019531 y=0.101310729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158454895019531 × 216)
    floor (0.158454895019531 × 65536)
    floor (10384.5)     		tx = 10384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101310729980469 × 216)
    floor (0.101310729980469 × 65536)
    floor (6639.5)     		ty = 6639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10384 / 6639 ti = "16/10384/6639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10384/6639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10384 ÷ 216
    10384 ÷ 65536     		x = 0.158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6639 ÷ 216
    6639 ÷ 65536     		y = 0.101303100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.68310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14603912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101303100585938 × 2 - 1) × π
    0.797393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50508650034489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14603912} λ = -2.14603912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50508650034489))-π/2
    2×atan(12.2446180836807)-π/2
    2×1.48930863984984-π/2
    2.97861727969968-1.57079632675     		φ = 1.40782095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14603912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40782095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.662199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10384 KachelY 6639 -2.14603912 1.40782095 -122.958984 80.662199
    Oben rechts KachelX + 1 10385 KachelY 6639 -2.14594325 1.40782095 -122.953491 80.662199
    Unten links KachelX 10384 KachelY + 1 6640 -2.14603912 1.40780540 -122.958984 80.661308
    Unten rechts KachelX + 1 10385 KachelY + 1 6640 -2.14594325 1.40780540 -122.953491 80.661308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40782095-1.40780540) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40782095-1.40780540) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14603912--2.14594325) × cos(1.40782095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162254870219531 × 6371000     		do = 99.1032903530246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14603912--2.14594325) × cos(1.40780540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162270214145036 × 6371000     		du = 99.1126622350671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40782095)-sin(1.40780540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162254870219531-0.162270214145036)×R²
    abs(-2.14594325--2.14603912)×1.534392550534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.534392550534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.534392550534e-05×40589641000000     		ar = 9818.53305921545m²