Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10384 / 5744
↖ ↑ ↗
← N 75.185789°
W 65.917969°		 ← 312.36 m → N 75.185789°
W 65.906982°		 →
↑
312.37 m
↓
↑
312.37 m
↓
N 75.182980°
W 65.917969°		 ← 312.41 m →
97 580 m²		 N 75.182980°
W 65.906982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316909790039062 y=0.175308227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316909790039062 × 215)
    floor (0.316909790039062 × 32768)
    floor (10384.5)     		tx = 10384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175308227539062 × 215)
    floor (0.175308227539062 × 32768)
    floor (5744.5)     		ty = 5744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10384 / 5744 ti = "15/10384/5744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10384/5744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10384 ÷ 215
    10384 ÷ 32768     		x = 0.31689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5744 ÷ 215
    5744 ÷ 32768     		y = 0.17529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.15048559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17529296875 × 2 - 1) × π
    0.6494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04019444782959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15048559} λ = -1.15048559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04019444782959))-π/2
    2×atan(7.69210476654618)-π/2
    2×1.44151795020831-π/2
    2.88303590041663-1.57079632675     		φ = 1.31223957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15048559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -65.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31223957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.185789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10384 KachelY 5744 -1.15048559 1.31223957 -65.917969 75.185789
    Oben rechts KachelX + 1 10385 KachelY 5744 -1.15029384 1.31223957 -65.906982 75.185789
    Unten links KachelX 10384 KachelY + 1 5745 -1.15048559 1.31219054 -65.917969 75.182980
    Unten rechts KachelX + 1 10385 KachelY + 1 5745 -1.15029384 1.31219054 -65.906982 75.182980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31223957-1.31219054) × R
    4.90300000000055e-05 × 6371000     		dl = 312.370130000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31223957-1.31219054) × R
    4.90300000000055e-05 × 6371000     		dr = 312.370130000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15048559--1.15029384) × cos(1.31223957) × R
    0.000191749999999935 × 0.255685548863883 × 6371000     		do = 312.355502149807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15048559--1.15029384) × cos(1.31219054) × R
    0.000191749999999935 × 0.255732948799401 × 6371000     		du = 312.413407771483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31223957)-sin(1.31219054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255685548863883-0.255732948799401)×R²
    abs(-1.15029384--1.15048559)×4.73999355179999e-05×R²
    0.000191749999999935×4.73999355179999e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.73999355179999e-05×40589641000000     		ar = 97579.5728254815m²