Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103833 / 99225
↖ ↑ ↗
← S 67.501213°
E105.185852°		 ← 116.88 m → S 67.501213°
E105.188599°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.502263°
E105.185852°		 ← 116.87 m →
13 656 m²		 S 67.502263°
E105.188599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792186737060547 y=0.757030487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792186737060547 × 217)
    floor (0.792186737060547 × 131072)
    floor (103833.5)     		tx = 103833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757030487060547 × 217)
    floor (0.757030487060547 × 131072)
    floor (99225.5)     		ty = 99225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103833 / 99225 ti = "17/103833/99225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103833/99225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103833 ÷ 217
    103833 ÷ 131072     		x = 0.792182922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99225 ÷ 217
    99225 ÷ 131072     		y = 0.757026672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792182922363281 × 2 - 1) × π
    0.584365844726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.83583944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757026672363281 × 2 - 1) × π
    -0.514053344726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61494621130007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83583944} λ = 1.83583944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61494621130007))-π/2
    2×atan(0.198901368799133)-π/2
    2×0.196338960855118-π/2
    0.392677921710236-1.57079632675     		φ = -1.17811841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83583944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.185852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17811841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.501213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103833 KachelY 99225 1.83583944 -1.17811841 105.185852 -67.501213
    Oben rechts KachelX + 1 103834 KachelY 99225 1.83588738 -1.17811841 105.188599 -67.501213
    Unten links KachelX 103833 KachelY + 1 99226 1.83583944 -1.17813675 105.185852 -67.502263
    Unten rechts KachelX + 1 103834 KachelY + 1 99226 1.83588738 -1.17813675 105.188599 -67.502263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17811841--1.17813675) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17811841--1.17813675) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83583944-1.83588738) × cos(-1.17811841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382663878457925 × 6371000     		do = 116.875398249205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83583944-1.83588738) × cos(-1.17813675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382646934294404 × 6371000     		du = 116.870223065523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17811841)-sin(-1.17813675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382663878457925-0.382646934294404)×R²
    abs(1.83588738-1.83583944)×1.69441635211598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69441635211598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69441635211598e-05×40589641000000     		ar = 13655.9030509887m²