Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103829 / 99535
↖ ↑ ↗
← S 67.824800°
E105.174866°		 ← 115.26 m → S 67.824800°
E105.177612°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
S 67.825836°
E105.174866°		 ← 115.25 m →
13 283 m²		 S 67.825836°
E105.177612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792156219482422 y=0.759395599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792156219482422 × 217)
    floor (0.792156219482422 × 131072)
    floor (103829.5)     		tx = 103829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759395599365234 × 217)
    floor (0.759395599365234 × 131072)
    floor (99535.5)     		ty = 99535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103829 / 99535 ti = "17/103829/99535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103829/99535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103829 ÷ 217
    103829 ÷ 131072     		x = 0.792152404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99535 ÷ 217
    99535 ÷ 131072     		y = 0.759391784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792152404785156 × 2 - 1) × π
    0.584304809570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.83564770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759391784667969 × 2 - 1) × π
    -0.518783569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62980665018229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83564770} λ = 1.83564770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62980665018229))-π/2
    2×atan(0.195967460736917)-π/2
    2×0.193515128483428-π/2
    0.387030256966855-1.57079632675     		φ = -1.18376607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83564770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.174866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18376607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.824800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103829 KachelY 99535 1.83564770 -1.18376607 105.174866 -67.824800
    Oben rechts KachelX + 1 103830 KachelY 99535 1.83569563 -1.18376607 105.177612 -67.824800
    Unten links KachelX 103829 KachelY + 1 99536 1.83564770 -1.18378416 105.174866 -67.825836
    Unten rechts KachelX + 1 103830 KachelY + 1 99536 1.83569563 -1.18378416 105.177612 -67.825836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18376607--1.18378416) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dl = 115.251390001228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18376607--1.18378416) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dr = 115.251390001228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83564770-1.83569563) × cos(-1.18376607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377440000253922 × 6371000     		do = 115.255844680809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83564770-1.83569563) × cos(-1.18378416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377423248236351 × 6371000     		du = 115.250729250717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18376607)-sin(-1.18378416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377440000253922-0.377423248236351)×R²
    abs(1.83569563-1.83564770)×1.67520175701208e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67520175701208e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67520175701208e-05×40589641000000     		ar = 13283.1015252808m²