Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103824 / 99280
↖ ↑ ↗
← S 67.558948°
E105.161133°		 ← 116.59 m → S 67.558948°
E105.163879°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
S 67.559996°
E105.161133°		 ← 116.59 m →
13 593 m²		 S 67.559996°
E105.163879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792118072509766 y=0.757450103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792118072509766 × 217)
    floor (0.792118072509766 × 131072)
    floor (103824.5)     		tx = 103824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757450103759766 × 217)
    floor (0.757450103759766 × 131072)
    floor (99280.5)     		ty = 99280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103824 / 99280 ti = "17/103824/99280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103824/99280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103824 ÷ 217
    103824 ÷ 131072     		x = 0.7921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99280 ÷ 217
    99280 ÷ 131072     		y = 0.7574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7921142578125 × 2 - 1) × π
    0.584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83540801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61758274077917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83540801} λ = 1.83540801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61758274077917))-π/2
    2×atan(0.198377650180026)-π/2
    2×0.195835122524661-π/2
    0.391670245049322-1.57079632675     		φ = -1.17912608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83540801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17912608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.558948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103824 KachelY 99280 1.83540801 -1.17912608 105.161133 -67.558948
    Oben rechts KachelX + 1 103825 KachelY 99280 1.83545595 -1.17912608 105.163879 -67.558948
    Unten links KachelX 103824 KachelY + 1 99281 1.83540801 -1.17914438 105.161133 -67.559996
    Unten rechts KachelX + 1 103825 KachelY + 1 99281 1.83545595 -1.17914438 105.163879 -67.559996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17912608--1.17914438) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17912608--1.17914438) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83540801-1.83545595) × cos(-1.17912608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381732710487368 × 6371000     		do = 116.590995582734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83540801-1.83545595) × cos(-1.17914438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381715796231914 × 6371000     		du = 116.585829533745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17912608)-sin(-1.17914438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381732710487368-0.381715796231914)×R²
    abs(1.83545595-1.83540801)×1.69142554546919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69142554546919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69142554546919e-05×40589641000000     		ar = 13592.9614085121m²